Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$ encontrar el punto $R$ de la recta $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$ que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.

Enunciado:
Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$
    $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$
encontrar el punto $R$ de la recta
    $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.

Solución:
Las componentes de un vector director de $r$ - recordemos que las coordenadas de un vector, expresado éste respecto a la base canónica, suelen ser designadas como componentes del mismo - vienen dados por los denominadores de la ecuación en forma continua de la recta, por tanto
    $\vec{u}=(2,3,-1)$
Si el triángulo $\triangle{PQR}$ es isósceles y los lados iguales son $\overline{PR}$ y $\overline{QR}$ deberá cumplirse
    $\angle ( \vec{u},\vec{RP} )=\pi-\angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \Rightarrow \cos \big( \angle ( \vec{u},\vec{RP} ) \big)=-\cos \big ( \angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \big)$
luego, según la definición del producto escalar euclídeo,
    $\dfrac{[\vec{u},\vec{RP}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RP}||}=-\dfrac{[\vec{u},\vec{RQ}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RQ}||}$
y como
    $||\vec{RP}||=||\vec{RQ}||$
podemos escrbir
    $\left \langle \vec{u},\vec{RP} \right \rangle=- \left \langle \vec{u},\vec{RQ} \right \rangle\quad \quad \quad (*)$
    ====
    Nota:
        $\left \langle.\;,\;.\right \rangle$ denota el producto escalar usual ( expresando los vectores respecto de la base canónica ), es decir, $\left \langle v,w \right \rangle=v_{x}\,w_{x}+v_{y}\,w_{y}+v_{z}\,w_{z}$
    ====
de aquí, si $R(x_R,y_R,z_R)$ y teniendo en cuenta los vectores de posición y su relación vectorial
    $\vec{RP}=\vec{OP}-\vec{OR}$ i $\vec{RQ}=\vec{OQ}-\vec{OR}$
podemos escribir:
    $\vec{RP}=(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)$
y
    $\vec{RQ}=(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)$

calculando, ahora, el valor del producto escalar de ambos miembros de (*), llegamos a:
    $\left \langle\vec{u},\vec{RP} \right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)\right \rangle$
          $=2\,(1-x_R)-3\,y_R+(1+z_R)$

    $\left \langle\vec{u},\vec{RQ}\right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(-1-x_R,2-y_R,3-z_R) \right \rangle$
          $=-2\,(1+x_R)+3\,(2-y_R)-(3-z_R)$

simplificiando e igualando las dos expresiones, podemos escribir
    $2\,x_R+3\,y_R-z_R=2\quad \quad \quad (1)$

Por otro lado, teniendo en cuenta que $R(x_R,y_R,z_R)$ es un punto de la recta $r$, se cumple la doble igualdad de la ecuación en forma continua de la recta:

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{y_R+4}{3} \quad \quad \quad (2)$

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{z_R-3}{-1} \quad \quad \quad (3)$

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3), encontramos, finalmente, les coordenadas del punto $R$. El sistema queda,

$\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ x_R & & &+&2\,z_R &=&3\\3\,x_R & -&2\,y_R && &=&-1\\ \end{matrix}\right\}$

que vamos a reducir por Gauss, procediendo a realizar las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones:

    $2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2$
    $3\,e_1-e_e \rightarrow e_3$

obteniendo el sistema equivalente

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ & &-3\,y_R&+&5\,z_R&=&4\\ & &13\,y_R &-&3\,z_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

por comodidad, intercambiamos el orden de la segunda y tercera incógnitas:
    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &-3\,z_R &+&13\,y_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

y, finalmente, haciendo
    $5\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3$
llegamos al sistema escalonado ( reducido )

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &&&56\,y_R &=&52\\ \end{matrix}\right\}$

cuyo número de ecuaciones no identicamente nulas es $3$, luego el número de ecuaciones linealmente independientes es $3$, que coincide con el número de incógnitas, luego, por el Teorema de Rouché, el sistema es compatible determinado ( tiene solución única ), tal como cabía esperar. Veamos cuál es la solución.

De la tercera ecuación se obtiene el valor de $y_R$
    $y_R=\dfrac{52}{56}=\dfrac{13}{14}$

sustituyendo este valor en la segunda,
    $z_R=\dfrac{4+3\cdot \frac{13}{14}}{5}=\dfrac{19}{14}$

y, a su vez, sustituyendo ambos en la primera ecuación,
    $x_R=\dfrac{2-3\cdot \frac{13}{14}+\frac{19}{14}}{2}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]