Consideremos una aplicación lineal $f:\,\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ dada por $f(x_1,x_2)=(x_1-x_2\,,\,x_1+2\,x_2,2\,x_1-3\,x_2)$ Determinar la matriz de dicha aplicación lineal.

ENUNCIADO.
Consideremos una aplicación lineal
    $f:\,\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$
dada por
    $f(x_1,x_2)=(x_1-x_2\,,\,x_1+2\,x_2,2\,x_1-3\,x_2)$, tomando la base canónica $\{(1,0),\vec(0,1)\}$ de $\mathbb{R}^2$ y la base canónica $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ de $\mathbb{R}^3$
Determinar la matriz de dicha aplicación lineal.

SOLUCIÓN.
Calculando las imágenes de los vectores de la base de $\mathbb{R}^2$, encontramos:
$$f((1,0))=(1-0,1+2\cdot 0,2\cdot 1-3\cdot 0)=(1,1,2)$$
$$f((0,1))=(0-1,0+2\cdot 1,2\cdot 0-3\cdot 1)=(-1,2,-3)$$
Entonces, disponiendo dichos vectores en columna y en el mismo orden que los hemos calculado, encontramos la matriz asociada a la aplicación lineal $$A_{3 \times 2}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\1 & 2 \\ 2 & -3\end{pmatrix}$$

Otra forma de hacerlo:
Deberá cumplirse el siguiente producte de matrices (que expresa el sistema de ecuaciones lineales)

$$A \cdot\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \end{matrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1-x_2 \\ x_1+x_2 \\ 2\,x_1-3\,x_2 \end{matrix}\end{pmatrix}$$

En el primer miembro de esta igualdad encontramos el producto de la matríz $A$ por una matriz $( 2 \times 1 ) $ y el resultado ( segundo miembro ) es una matriz $( 3 \times 1 ) $. Luego, de acuerdo con el producto matricial, la matriz de la aplicación lineal $A$, debe tener $3$ filas y $2$ columnas, $( 3 \times 2 ) $ con los siquientes coeficientes:

$$A_{3 \times 2}=\begin{pmatrix}\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix}\end{pmatrix}$$

$\square$