Plano tangente a la superficie de una esfera

Enunciado:
Dados el punto $P(1,2,-1)$ y el plano $\pi \equiv x+2y-2z+2=0$, sea $\mathcal{S}$ la esfera que es tangente al plano $\pi$ en un punto $P'$ de modo que el segmento $PP'$ es uno de sus diámetros. Se pide:
  a) Hallar el punto de tangencia $P'$
  b) Hallar la ecuación de $\mathcal{S}$

Resolución:
  a)
Un vector perpendicular a $\pi$ es $\vec{u}=(1,2,-2)$ y, como $\overrightarrow{PP'} \propto \vec{u}$ ( al ser $PP'$ un diámetro de $\pi$ ), existe un escalar $k$ tal que $\overrightarrow{PP'}=k\,\vec{u}$, es decir, denotando por $(x',y',z')$ las coordenadas de $P'$, podemos escribir

$\left\{\begin{matrix} x'-1 &=&k \\ y'-2 &=&2\,k \\ z'-(-1) &=&-k \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x'-1 &=&\dfrac{y'-2}{2} \quad \quad \quad \quad \quad (1)\\ x'-1 &=&-(x'-(-1)) \quad \quad (2) \end{matrix} \right.$

Por otra parte
$P'(x',y',z') \in \pi$
luego debe cumplirse $x'+2y'-2z'+2=0 \quad \quad \quad (3)$

Entonces, podemos calcular las coordenadas de $P'$ resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3); que, ordenado y simplificado, lo podemos escribir de la forma
$\left. \begin{matrix} x'&+&2\,y'&-&2\,z'&=&-2 \\ 2\,x'&-&y'&&&=&0 \\ x'&&&+&z'&=&0 \\ \end{matrix} \right\}$

De la tercera ecuación, $x'=-z'$ y sustituyendo en las dos primeras llegamos a
$\left. \begin{matrix} 3\,z'&-&2\,y'&=&2 \\ 2\,z'&+&y'&=&0 \end{matrix} \right\} \underset{(2\,e_2+e_1\rightarrow e_2)}{\sim} \left. \begin{matrix} 3\,z'&-&2\,y'&=&2 \\ 7\,z'&&&=&2 \end{matrix} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{matrix} x'=-\frac{2}{7} \\\\ y'=-\frac{4}{7} \\\\ z'=\frac{2}{7} \end{matrix} \right\}$

luego el punto de tangencia de $\pi$ y $\mathcal{S}$ es
      $P'\big(-\frac{2}{7},-\frac{4}{7},\frac{2}{7}\big)$

  b) La ecuación de la superfíce esférica es $ S\equiv (x-x_{C})^2+(y-y_{C})^2+(z-z_{C})^2=r^2 \quad \quad \quad (4)$
siendo $C(x_C,y_C,z_C)$ el centro de la esfera y $r$ el radio de la misma.

Procedamos pues a calcular las coordenada de $C$ y el valor de $r$
El punto $C$ es el punto medio del segmento $PP'$, y, siendo $P(1,2,-1)$, llegamos a

$x_C=\dfrac{x_P+x_P'}{2}=\dfrac{-\frac{2}{7}+1}{2}=\frac{5}{14}$

$y_C=\dfrac{y_P+y_P'}{2}=\dfrac{-\frac{4}{7}+2}{2}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$

$z_C=\dfrac{z_P+z_P'}{2}=\dfrac{\frac{2}{7}+(-1)}{2}=-\frac{5}{14}$

y, conociendo las coordenadas de $C$ y $P'$ podemos ahora calcular el valor del radio $r$ de la esfera

$r=\left\| \overrightarrow{CP'}\right\|=\left| \sqrt{ \big(1-\frac{5}{14}\big)^2+\big(2-\frac{10}{14}\big)^2+\big(-1-(-\frac{5}{14})\big)^2) } \right|= \frac{9}{14}\,\left|\sqrt{6}\right|$

Por tanto, sustituyendo las coordenadas de $C$ y el valor del radio $r$ en (4), llegamos a la ecuación pedida de la superficie de la esfera

$S \equiv \big(x-\frac{5}{14}\big)^2+\big(y-\frac{5}{7}\big)^2+\big(z-(-\frac{5}{14})\big)^2=\frac{243}{98}$

$\square$

[nota del autor]