Un ejercicio de cálculo de primitivas

ENUNCIADO. Calcúlese la integral intefinida $$\int\dfrac{x+1}{x^2+3x+4}\,dx$$

Observación/sugerencia: Téngase en cuenta que el polinomio del denominador tiene raíces complejas, pues el discriminante de la ecuación $x^2+3x+4=0$ es negativo $\Delta=3^3-4\cdot 1\cdot 4 \prec 0$, por lo que en este caso, es evidente que no sirve de nada intentar descomponer la fracción algebraica del integrando en suma de fracciones más sencillas para facilitar de este modo la integración; en efecto, $$\dfrac{x+1}{x^2+3x+4}=\dfrac{Mx+N}{x^2+3x+4}$$ conduce a $M=N=1$ y por tanto al punto de partida.

Si bien ese camino ya no podemos seguirlo, debemos tener en cuenta que como el polinomio del numerador está rebajado en $1$ grado con respecto del polinomio del denominador, podemos recurrir a la siguiente propiedad $$\int\,\dfrac{u(x)}{v(x)}\,dx=\ln|v(x)|+C \; \text{si}\; (v(x))'=u(x) \quad \quad$$

SOLUCIÓN. Siguiendo la sugerencia, y teniendo en cuenta que $(x^2+3x+4)'=2x+3$, escribiremos el numerador $x+1$ de la siguiente forma equivalente $$x+1=\dfrac{1}{2}(2x+2)=\dfrac{1}{2}(2x+3-3+2)=\dfrac{1}{2}(2x+3-1)$$ con lo cual la integral pedida la podemos expresar de la forma $$\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+3-1}{x^2+3x+4}\,dx$$ y por tanto de la siguiente manera $$\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+3}{x^2+3x+4}\,dx-\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{1}{x^2+3x+4}\,dx \quad \quad (2)$$

La primera integral de la expresión (2) ( prescindiendo del coeficiente $\dfrac{1}{2}$ ), que denotaremos por $I_1$, es inmediata si utilizamos la propiedad (1): $$I_1=\ln\;(x^2+3x+4)+C_1$$ Nota: Aquí, como la función $x^2+3x+4\succ 0$ para todo $x\in \mathbb{R}$, no es necesario poner las barras de valor absoluto en el argumento del logaritmo.

La segunda integral de la expresión (2) ( prescindiendo del coeficiente $\dfrac{1}{2}$ ), que denotaremos por $I_2$ es semi inmediata, habida cuenta que se asemeja a la integral inmediata que lleva al arco tangente: $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{1+t^2}\,dt=\arctan\,t+C$. Veámoslo:

$\displaystyle I_2=\int\,\dfrac{1}{x^2+3x+4}\,dx=\int\,\dfrac{1}{(x+3/2)^2-(3/2)^2+4}\,dx=\int\,\dfrac{1}{(x+3/2)^2+7/4}\,dx=$

$\displaystyle=\int\,\dfrac{1}{u^2+7/4}\,du$   [Haciendo el cambio de variable (c.v.) $x+3/2=u \Rightarrow du = dx$]

$\displaystyle=\dfrac{4}{7}\int\,\dfrac{1}{\dfrac{4}{7}u^2+1}\,du=\dfrac{4}{7}\int\,\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{\sqrt{7}}u\right)^2+1}\,du=$

$\displaystyle=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{\sqrt{7}}{2}\int\,\dfrac{1}{w^2+1}\,dw$   [c.v.: $\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,u=w \Rightarrow du = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\,dw$]

$\displaystyle=\dfrac{2\,\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,w+C_2$

$\displaystyle=\dfrac{2\,\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,u+C_2$   [ Deshaciendo el segundo cambio de variable ]

$\displaystyle=\dfrac{2\,\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,\left(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,(x+3/2)\right)+C_2$   [ Deshaciendo el primer cambio de variable ]

Por consiguiente, reuniendo los resultados de $I_1$ e $I_2$:
$\int\dfrac{x+1}{x^2+3x+4}\,dx=$
    $=\dfrac{1}{2}\,\left(\ln\;(x^2+3x+4)+C_1\right)-\dfrac{1}{2}\,\left( \dfrac{2\,\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,\left(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,(x+3/2)\right)+C_2\right)$
o lo que es lo mismo: $$\int\dfrac{x+1}{x^2+3x+4}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\ln\;(x^2+3x+4)-\dfrac{\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,\left(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,(x+3/2)\right)+C$$
$\square$

Integración de funciones racionales

Se consideran integrales del tipo $$\int\dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx$$ donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios en $x$ de coeficientes reales. De lo que se trata, para integrar dichas funciones, es descomponer el integrando en una suma de fracciones algebraicas simples. Distinguiremos entre el caso de fracciones propias (I) y el de fracciones impropias (II); este segundo caso se reduce al primero, dividiendo el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador, tal como se detallará más adelante. Entonces:

I) Si $\text{grado}(P(x)) \prec \text{grado}(Q(x))$ ( la fracción $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ es propia ) distinguiremos entre los siguientes casos:
    a) Para cada factor de la forma $(ax+b)^n$ de $Q(x)$, la fracción algebraica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ se descompone en una suma de $n$ fracciones más simples: $$\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+\ldots+\dfrac{A_1}{(ax+b)^n}$$

EJEMPLO. Calcúlese la integral indefinida $$\int \dfrac{x+1}{x^3-3x+2}\,dx$$
Procedamos a descomponer la fracción algebraica del integrando ( que es propia ) en suma de fracciones más sencillas. Para ello, hay que factorizar el polinomio del denominador. Fácilmente, llegamos a
$$x^3-3x+2=(x+2)(x-1)^2$$
Entonces, $$\dfrac{x+1}{x^3-3x+2}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^2} \quad \quad (1)$$ Reduciendo a común denominador los términos del segundo miembro, vemos que éste es igual a $$A(x-19^2+B(x+2)(x-1)+C(x+2)$$ y para que se cumpla (1) se tiene que $$x+1=A(x-19^2+B(x+2)(x-1)+C(x+2)$$ así que, una vez agrupados los términos semejantes, igualando los coeficientes de los términos del mismo grado de sendos miembros se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}A+B=0\\ -2A+B+C=1 \\ A-2B+2C=1\end{matrix}\right.$$ Resolviéndolo, encontramos los valores de los coeficientes $A,B$ y $C$:
$$A=-1/9, B=1/9, C=2/3$$
Por consiguiente, $$\int \dfrac{x+1}{x^3-3x+2}\,dx=-\dfrac{1}{9}\,\int\,\dfrac{dx}{x+2}+\dfrac{1}{9}\,\int\,\dfrac{dx}{x-1}+\dfrac{2}{3}\,\int\,\dfrac{dx}{(x-1
)^2}=$$
$$=-\dfrac{1}{9}\cdot \ln\,|x+2|+\dfrac{1}{9}\cdot \ln\,|x-1|-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{x-1
}=$$ $$=\dfrac{1}{9}\cdot \ln\,\left|\dfrac{x-1}{x+2}\right|-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{x-1
}$$


    b) Para cada factor de la forma $(ax^2+bx+c)^m$ de $Q(x)$, la fracción algebraica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ se descompone en una suma de $m$ fracciones más simples: $$\dfrac{M_1\,x+N_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{M_2\,x+N_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\ldots+\dfrac{M_m\,x+N_m}{(ax^2+bx+c)^m}$$
   
EJEMPLO. Calcúlese la integral indefinida $$\int \dfrac{x^2+2}{x^3-1}\,dx$$
Procedamos a descomponer la fracción algebraica del integrando ( que es propia ) en suma de fracciones más sencillas. Para ello, hay que factorizar el polinomio del denominador. Sin dificultad, llegamos a
$$x^3-1=(x-1)\,(x^2+x+1)$$
Entonces, $$\dfrac{x^2+2}{x^3-1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Mx+N}{x^2+x+1}\quad \quad (1)$$ Reduciendo a común denominador los términos del segundo miembro, vemos que éste es igual a $$A(x^2+x+1)+(Mx+N)(x-1)$$ y para que se cumpla (1) se tiene que $$x^2+2=(A+M)\,x^2+(A-M+N)\,x+(A-N)$$ así que, una vez agrupados los términos semejantes, igualando los coeficientes de los términos del mismo grado de sendos miembros se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}A+M=1\\ A-M+N=0 \\ A-N=2\end{matrix}\right.$$ Resolviéndolo, encontramos los valores de los coeficientes $A,M$ y $N$:
$$A=1, M=0, N=-1$$
Por consiguiente, $$\int \dfrac{x^2+2}{x^3-1}\,dx=\int\,\dfrac{dx}{x-1}-\int\,\dfrac{dx}{x^2+x+1}=$$
$$=\ln\,|x-1|- \dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$$

Nota: la segunda integral del segundo miembro la resolvimos ya en [este otro ejercicio].


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c) ( Ampliación ) En el caso de que el polinomio $Q(x)$ tenga raíces complejas múltiples, también se puede utilizar el método de Hermite-Ostrogradski: $$\int\,\dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx=\dfrac{P_1(x)}{Q_{1}(x)}+\int\,\dfrac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}\,dx \quad \quad (1)$$ donde $Q_{1}(x)=\text{m.c.d}(\{Q(x),Q'(x)\})$ y $Q_2(x)=\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}$; y, los polinomios $P_{1}(x)$ y $P_{2}(x)$ son de $1$ grado menor que sus denominadores $P_{1}(x)$ y $P_{2}(x)$, obteniendo sus coeficientes a partir de la derivación de la igualdad, realizando la suma de fracciones e igualando los coeficientes de los polinomios numeradores. (1)
EJEMPLO:
Nos proponemos calcular la integral $\int \dfrac{dx}{(x^2+3)^2}$ por el método de Hermite. Entonces, $P(x)=1$ y $Q(x)=(x^2+3)^2$
i) Calculamos $Q'(x)$:
  $Q'(x)=\left( (x^2+3)^2\right)'=4x(x^2+3)$
ii) $Q_{1}(x)=\text{m.c.d}(\{Q(x),Q'(x)\})=x^2+3$ así que, como $\text{grado}(Q_{1}(x))=2$, el grado de $P_{1}(x)$ ha de ser $1$, luego $P_{1}(x)=ax+b$
iii) $Q_{2}(x)=\dfrac{Q(x)}{Q_{1}(x)}$, se tiene que $Q_{2}(x)=\dfrac{(x^2+3)^2}{x^2+3}=x^2+3$, luego $P_{2}(x)$ ha de ser $1$ grado menor, y por tanto, $P_{1}(x)=cx+d$
De todo ello, según (1), resulta que
$$\int \dfrac{dx}{(x^2+3)^2}=\dfrac{ax+b}{x^2+3}+\int \dfrac{cx+d}{x^2+3} \quad \quad (2)$$
iv) Determinemos ahora los coeficientes $a,b,c$ y $d$, para lo cual derivamos (2) en ambos miembros, obteniendo:
$$\dfrac{1}{(x^2+3)^2}=\dfrac{3zx^2+2bx+3a}{(x^2+3)^2}+\dfrac{cx+d}{x^2+3}$$
y de ello deducimos que $$1=cx^3+(3a+d)x^2+(2b+3c)x+(3a+3d)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\3a+d=0\\2b+3c=0\\3a+3d=1\end{matrix}\right.$$ y resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos $$b=c=0,a=-\dfrac{1}{6}, d=\dfrac{1}{2}$$
Por consiguiente, de (2), obtenemos $$\int \dfrac{dx}{(x^2+3)^2}=-\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{x}{x^2+3}+\dfrac{1}{2}\,\int \dfrac{dx}{x^2+3}$$ siendo la segunda integral ( del segundo miembro ) semi inmediata $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^2+3}=\dfrac{1}{3}\,\int \dfrac{dx}{(x/\sqrt{3})^2+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,\arctan\,\dfrac{x}{\sqrt{3}}+C$$
con lo cual $$\int \dfrac{dx}{(x^2+3)^2}=-\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{x}{x^2+3}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\,\arctan\,\dfrac{x}{\sqrt{3}}+C$$-oOo-


II) Si $\text{grado}(P(x)) \ge\text{grado}(Q(x))$ hay que realizar la división $P(x)\div Q(x)$ para expresar la fracción impropia $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ de la forma $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$ -- donde, lógicamente, $\text{grado}(R(x)\prec \text{grado}(Q(x)$ -- y proceder como (I), para integrar la fracción propia.


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Referencias:
M. L. Calle, R. Vendrel, Problemes d'àlgebra lineal i càlcul infinitesimal, Eumo Editorial, Barcelona, 1992

N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1978

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Solución:
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\int \, \dfrac{\frac{1}{9}\,dx }{\big(\frac{x}{3}\big)^2+1}$
y haciendo el cambio de variable
    $\dfrac{x}{3}=t \Rightarrow dx=3\,dt$
obtenemos
    $\displaystyle \frac{1}{3}\,\arctan{t}+k$
deshaciendo finalmente el cambio de variable llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\frac{1}{3}\,\arctan{\frac{x}{3}}+C$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida

Enunciado:
Calcular la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+x+1}\,dx$

Solución:
La función del integrando es de tipo racional y su polinomio tiene raíces complejas, con lo cual no podemos descomponer la función
    $\dfrac{1}{x^2+x+1}$
en suma de funciones racionales, que sería la vía estándar a seguir.
Esto nos lleva a probar otro camino de resolución alternativo, que es el siguiente. Podemos expresar el polinomio del denominador de la fracción racional del integrando de la siguiente forma
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2-\dfrac{1}{4}+1$
que es igual a
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}$
luego la función del integrando se puede escribir de la forma
    $\dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}$
y, por tanto, la integral objetivo es igual a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}\,dx$
y haciendo el cambio de variable
    $x+\dfrac{1}{2}= t$
llegamos a
    $\displaystyle \int \, \frac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}}\,dt=\int \, \dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\,t^2+\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}}\,dt=\frac{4}{3}\,\int \, \dfrac{1}{\big(\frac{2\,t}{\sqrt{3}}\big)^2+1} \,dt$
y, a su vez, haciendo un segundo cambio
    $w=\frac{2\,t}{\sqrt{3}}$
nos queda
    $\displaystyle \frac{4}{3}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int \, \dfrac{1}{w^2+1} \,dw$
que es igual a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,w+C_1$
Habiendo resuelto ya el problema de integración, procedemos ahora a deshacer los cambios de variable por orden inverso a los pasos realizados, llegando a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,t}{\sqrt{3}} +C_2$
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,(x+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}} +C$
es decir
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}} +C$
que es igual a la familia de primitivas de la función del integrando.
$\square$

[nota del autor]