Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $e^x=t \Rightarrow dt=e^x\,dx$
podemos escribir
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}$
y, a su vez, con éste otro cambio, $1+t=u^2 \Rightarrow dt=2\,u\,du$, llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}=\int\,\dfrac{2\,u\,du}{u}=2\,\int\,du=2\,u+k_1$
Deshaciendo ahora los cambios por orden inverso
    $2\,u+k_1=2\,\sqrt{1+t}+k_2=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
$\square$

[nota del autor]