Calcular $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Enunciado:
Calcular
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Solución:
La función integrando es una función racional impropia
que vamos a descomponer en forma mixta efectuando la división $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
Vemos que el polinomio cociente es igual a $x$, y que el polinomio residuo es $2\,x+1$
y por el teorema de la división, podemos escribir
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
De ahí, la integral dada se puede poner de la forma
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}=\int{\bigg( x + \dfrac{2\,x+1}{x^2-1}\bigg)\,dx}$
            $= \displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{x^2-1}\,dx}$
y teniendo en cuenta que podemos factorizar el polinomio del denominador del tercer término: $x^2-1=(x-1)\,(x+1)$
escribiremos
                $\dfrac{1}{x^2-1}$
como la suma de dos fracciones algebraicas
                $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}$
Entonces, la integral pedida
    $\displaystyle \int \dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx$
es igual a la siguiente suma de integrales ( más sencillas ):
    $\displaystyle \int x \,dx+\int \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx+\int \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}\,dx-\int \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}\,dx$
las cuales, integradas y sumadas, conducen a
    $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x-1\right|}-\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x+1\right|}+C$
        $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}+C$
donde $C$, por ser la constante de integración, puede ser cualquier número real.
$\square$

[nota del autor]