Ejercicio de: a) cálculo de la recta tangente; b) cálculo de la integral definida

Enunciado:
Dada la función
$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$
se pide:
  a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x=0$
  b) Calcular
          $\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,f(x)\,dx$

Resolución:
Sea la recta tangente $\text{r.t. en O}:\,y=m\,x+k$ pedida, siendo $m=f'(0)$. Procederemos pues a calcular la función derivada de $f(x)$. Por la regla del cociente,
$f'(x)=\dfrac{(x)'\,(x^2+1)-(x^2+1)'\,x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1\cdot (x^2+1)-2\,x\cdot x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$
luego
$f'(0)=\dfrac{0^2+1}{(0^2+1)^2}=1$
y, por tanto, $m=1$

Procedemos ahora a calcular la ordenada en el origen $k$ de la recta tangente. Como $f(0)$, que es igual a
$\dfrac{0}{0^2+1}=0$
es la ordenada que corresponde a la abscisa $0$, que es la del punto de tangencia, y, además, ha de ser la también la ordenada de la propia recta tangente, deducimos que $k=0$. En otras palabras, la recta tangente que buscamos pasa por el origen de coordenadas; su ecuación es $\text{r.t. en O}:\, y=x$, como se muestra en la siguiente figura.

  b)
Calculemos una primitiva de
$\displaystyle \int\,x\,f(x)\,dx$
para ello, expresamos transformamos previamente la función del integrando $x\,f(x)$
esto es
$\dfrac{x^2}{x^2+1}$
puede espresarse de la forma
$1+\dfrac{x^2}{x^2+1}-1=1-\dfrac{1}{x^2+1}$
luego
$\displaystyle \int\,x\,f(x)\,dx=\displaystyle \int\,\big(1-\dfrac{1}{x^2+1}\big)\,dx=\displaystyle \int \,dx-\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+1}=x+\arctan{x}+C$
Por consiguiente, por la regla de Barrow
$\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,f(x)\,dx=\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x^2+1}\,dx=$
        $=[x+\arctan{x}]_{0}^{1}=(1-0)-(\arctan 1 -\arctan 0)= 1-\dfrac{\pi}{4}$
donde hemos considerado el ángulo $x$ en el primer cuadrante: $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$

$\square$

[nota del autor]