Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Se trata de una integral semi inmediata; en efecte, mediante el cambio de variable
    $x^2+1=t$
tenemos que
    $dt=2\,x\,dx$
por lo que la integral objetivo se transforma en
    $\displaystyle \int \dfrac{dt}{\sin^2 t}$
cuya familia de primitivas es
    $-\dfrac{1}{\tan{t}}+k$
y, deshaciendo el cambio, queda
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}=-\dfrac{1}{\tan{(x^2+1)}}+C$
$\square$

[nota del autor]