Enunciado:
¿Qué error porcentual se comete al sustituir el seno de $20^{\circ}$ por el valor de dicho ángulo expresado en radianes ? Repetir el mismo cálculo para el caso de la tangente.
Solución:
Sea el valor nominal de una cierta magnitud, $x^{*}$, y denominemos por $x$ un valor aproximado de $x^{*}$. Entonces, se define el error absoluto de la aproximación $x \approx x^{*}$ como
$E=\left|x-x^{*}\right|$
y el error relativo de la forma
$e=\dfrac{E}{x^{*}}\approx \dfrac{E}{x}$
(a)
Expresemos el valor del ángulo dado en radianes:
$20^{\circ}=20\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{9}\,\text{rad}$
entonces, al hacer la aproximación
$\sin\,\dfrac{\pi}{9} \approx \dfrac{\pi}{9}$
obtenemos el siguiente error absoluto
$E=\left|\sin\,\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\pi}{9}\right|\approx 0,007046$
siendo el error relativo
$e=\dfrac{\dfrac{\pi}{9}}{\sin\,\dfrac{\pi}{9}} \approx 0,0206 \rightarrow 2,06 \,\% $
(b)
De la aproximación
$\tan\,\dfrac{\pi}{9} \approx \dfrac{\pi}{9}$
obtenemos el siguiente error absoluto
$E=\left|\tan\,\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\pi}{9}\right|\approx 0,014904$
siendo el error relativo
$e=\dfrac{\dfrac{\pi}{9}}{\tan\,\dfrac{\pi}{9}} \approx 0,040949 \rightarrow 4,09 \,\% $
Referencias: Ejercicio ( 1.6, página 14 ) propuesto en el libro de J.L. Meriam, Mecánica para Ingenieros, Editorial Reverté, Barcelona, 1988.
$\square$
