Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide: a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas. b) Calcular el área de dicho recinto acotado c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Enunciado:
Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide:
a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas.
b) Calcular el área de dicho recinto acotado
c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Resolución:

Obtenemos las coordenadas de los puntos de intersección A i B resolviendo el sistema de ecuaciones

$\left. \begin{matrix} 9-x^2=y\\ 2x+1=y\\ \end{matrix}\right\}$

obteniendo como solución

$A(-4,-7)$

$B(2,5)$

El área del recinto acotado és igual a

$\displaystyle \left|\int_{-4}^{2}\,\big( (9-x^2)-(2x+1)\big)\,dx \right| = \ldots = 36 \quad \text{unidades de \'area}$

Abordemos, ahora, la última parte del problema. El recinto acotado entre la parábola y el eje de abscisas genera, al girarlo alrededor de dicho eje, un cuerpo de revolución. Calcularemos su volumen teniendo en cuenta la simetria de dicho cuerpo.

Considerando el disco de radio $r(h)$ y de grosor $dh$ podemos sumar dichos infintos elementos diferencials de volumen de manera continua calculando la integral

$V=\int_{D}\,\pi\,\big(r(h)\big)^2\,dh$

puesto que $r$ representa la ordenada de un punto del recinto $9-x^2$; el grosor de dicho disco es la cantidad diferencial $dx$, y que los límites de integración (del recinto) són las abscisas de los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas

$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3$

podemos concretar el cálculo así

$\displaystyle V=\int_{-3}^{3}\,\pi\,\big(9-x^2)^2\,dx = \ldots = \dfrac{1296}{5}\, \pi \quad \text{unidades de volumen}$

$\square$

[nota del autor]