Integrales indefinidas semi inmediatas

Calcúlese $$\displaystyle \int\,\text{cotan}(x)\,dx$$

$$\displaystyle \int\,\text{cotan}(x)\,dx=\int\,\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\,dx=\int\,\dfrac{d(\sin(x))}{\sin(x)}=\ln(|\sin(x)|)+C$$ $\diamond$

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2\,2^x}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2\,2^x}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $2^{x}=t \Rightarrow dt=\ln\,2\cdot 2^x\,dx$
por tanto la integral pedida se transforma en
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2 \,2^x}=\frac{1}{\ln\,2} \,\int\,\dfrac{dt}{\cos^2\,t}=\dfrac{1}{\ln \,2} \, \tan{t}+k$
Deshaciendo, finalmente, el cambio de variable
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x} \,dx}{ \cos^2 \,2^x}= \dfrac{1}{\ln \,2} \, \tan {2^x}+C$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Solución:
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\int \, \dfrac{\frac{1}{9}\,dx }{\big(\frac{x}{3}\big)^2+1}$
y haciendo el cambio de variable
    $\dfrac{x}{3}=t \Rightarrow dx=3\,dt$
obtenemos
    $\displaystyle \frac{1}{3}\,\arctan{t}+k$
deshaciendo finalmente el cambio de variable llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\frac{1}{3}\,\arctan{\frac{x}{3}}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Se trata de una integral semi inmediata; en efecte, mediante el cambio de variable
    $x^2+1=t$
tenemos que
    $dt=2\,x\,dx$
por lo que la integral objetivo se transforma en
    $\displaystyle \int \dfrac{dt}{\sin^2 t}$
cuya familia de primitivas es
    $-\dfrac{1}{\tan{t}}+k$
y, deshaciendo el cambio, queda
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}=-\dfrac{1}{\tan{(x^2+1)}}+C$
$\square$

[nota del autor]