Otro ejercicio de integración

Enunciado:
Sea $f(x)$ una función continua tal que
$\int_{1}^{e}\,f(u)\,du=\frac{1}{2}$
Hallar
$\int_{0}^{2}\,f(e^{\frac{x}{2}})\,e^{\frac{x}{2}}\,dx$

Resolución:
Haciendo el cambio de variable
$e^{\frac{x}{2}}=u$
obtenemos
$du=(e^{\frac{x}{2}})'\,dx=\frac{1}{2}\,e^{\frac{x}{2}}\,dx$

Los nuevos límites de integración son los siguientes:
para $x=0$, $u=e^{0}=1$
para $x=2$, $u=e^{\frac{2}{2}}=e$

Luego
$\int_{0}^{2}\,f(e^{\frac{x}{2}})\,e^{\frac{x}{2}}\,dx=2\,\int_{1}^{e}\,f(u)\,du=2\cdot\frac{1}{2}=1$
$\square$

[nota del autor]