Ejercicio de integración ( modelo de examen de las PAU )

Enunciado:
Sea $g(x)$ una función derivable tal que
$g(6)=\int_{5}^{6}\,g(x)\,dx$
Hallar
$\int_{5}^{6}\,(x-5)\,g'(x)\,dx$

Resolución:
Denotando por $u$ a $x-5$ ( y por tanto $du=dx$ ) y por $dv$ a $g'(x)\,dx$ ( con lo cual, $g(x)=v$ ) y teniendo en cuenta que
$\int_{a}^{b} u\,dv=[uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} \,v\,du ;\;\;a,b\in \mathbb{R}$
podemos escribir la integral pedida de la forma
$\int_{5}^{6}\,(x-5)\,g'(x)\,dx=[(x-5)\,g(x)]_{5}^{6}-\int_{5}^{6}\,g(x)\,dx$
$\quad=(6-5)\,g(6)-(5-5)\,g(5)-g(6)$
$\quad=g(6)-0-g(6)$
$\quad=0$
$\square$

[nota del autor]