Ejemplo de análisis de una función real de una variable real

Enunciado:
Dada la función
    $f(x)=\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}$
se pide:
  a) Hallar las asíntotas de su gráfica
  b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión
  c) Esbozar la gráfica de la función

Resolución:
  a)
Observemos que la función no es continua en todos los puntos de $\mathbb{R}$ a excepción de $x=4$ y $x=-1$ pues al anularse los denominadores de los términos respectivos, éstos tienden a $\pm \infty$ cuando $x$ tiende a estas dos valores. Por lo tanto, la función tiene las siguientes asíntotas verticales: $r:x=4$ y $s:x=-1$. Por otra parte, vemos que
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{4}{x-4}+\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{27}{2x+2}=\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}=0$
luego el eje de abscisas es una asíntota horizontal de $f(x)$
Un examen de asíntotas oblicuas $\text{a.o}:y=mx+k$ nos lleva a concluir que esta función no las tiene; en efecto, al determinar la pendiente $m$ vemos que es nula. En efecto, calculando la función derivada de $f(x)$
$f'(x)=\Big(\dfrac{4}{x-4}\Big)'+\Big(\dfrac{27}{2x+2}\Big)'=\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\dfrac{-27\cdot 2}{(2x+2)^2}$
y pasando al límite
$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\,f'(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{-54}{(2x+2)^2}=0$
resultado que simplemente confirma la existencia de una asíntota horizontal, que ya hemos encontrado, pero no hay otras, aparte de las dos verticales.

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  b)
Veamos los puntos de crecimiento nulo imponiendo la condición
$f'(x)=0$
que nos lleva a resolver la ecuación
$\dfrac{4}{(x-4)^2}+\dfrac{54}{(2x+2)^2}=0 \Leftrightarrow 7x^2-40x+88=0$
ecuación que no tiene solución en $\mathbb{R}$ pues el discriminante
$(-40)^2-4\cdot 88 \cdot 7$ es menor que cero, luego al no haber puntos donde la función pase de ser creciente a decreciente o viceversa, ésta es monótona, siendo su carácter decreciente ya que al aumentar el valor de la abscisa disminuye el valor de la ordenada en todo el dominio de continuidad ( que es $\mathbb{R}-\{-1,4\}$ ); conclusión que ya se entreveía atendiendo a este sólo razonamiento antes de intentar encontrar ceros de $f'(x)$.

A continuación, veamos si la función tiene puntos de inflexión ( en los que cambia el signo de la curvatura del gráfico ), ésto es, el de la segunda derivada. Por ello, calculemos la función segunda derivada e impongamos que sea cero para encontrar dichos puntos. La segunda derivada es
$f''(x)=\big(f'(x)\big)'=\bigg(\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\dfrac{-54}{(2x+2)^2}\bigg)'=\dfrac{8}{(x-4)^3}+\dfrac{27}{(x+1)^3}$
luego
$f''(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{8}{(x-4)^3}+\dfrac{27}{(x+1)^3}=0 \Leftrightarrow 35x^3-300x^2+1320x-1270=0$
ecuación polinómica de tercer grado de la que $x=2$ es una posible raíz entera ( por ser un divisor de $1270$ ) y, en efecto, dividiendo por Ruffini, y, por el teorema del resto, vemos que efectivamente lo es. No hay ninguna más, pues el polinomio cociente, que es $35x^2-230x+860$, es primo ( al ser su discriminante de la ecuación $35x^2-230x+860=0$, menor que cero ).
La ordenada del punto de inflexión es
$f(2)=\dfrac{4}{2-4}+\dfrac{27}{2\cdot 2+2}=\dfrac{5}{2}$
luego el punto de inflexión ( que denotaremos por $B$ ) tiene coordenadas $B(2,\frac{5}{2})$.

A partir de este resultado podemos escribir los intervalos de concavidad y convexidad.

Intervalos de convexidad ( signo negativo de la segunda derivada en todos sus puntos ):
      $(-\infty, -1) \subset \mathbb{R}$
      $(2, 4) \subset \mathbb{R}$
      $(4, +\infty) \subset \mathbb{R}$

Intervalos de concavidad ( signo positivo de la segunda derivada en todos sus puntos ):
      $(1, 2) \subset \mathbb{R}$

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  c)
Para trazar el esquema del gráfico, determinaremos también los puntos de corte con los ejes. La ordenada en el origen es $f(0)=\dfrac{4}{0-4}+\dfrac{27}{2\cdot 0+2}=\dfrac{25}{2}$. Vamos a examinar ahora los ceros/raíces de la función $f(x)$; para ello, hagamos que ésta sea nula:
$f(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}=0 \Leftrightarrow 35x-100=0$
por tanto encontramos una sola raiz, $x=\frac{20}{7}$
Los puntos buscados son, por tanto
$A(\frac{20}{7},0)$
y
$C(0,\frac{25}{2}$

Ahora, podemos ya esbozar el trazo de la función:

$\square$