Una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales, pero sí en el de los números complejos

Encaremos el siguiente reto (propio de Olimpiada Matemática), que consiste en intentar resolver la ecuación en el conjunto de los números complejos: $$1^x=2$$

Veamos, primero, que no es posible encontrar soluciones en el conjunto de los números reales. En efecto, podemos interpretar el miembro de la izquierda como la función real de una variable real: $f(x):=1^x=1 \,\forall, x\in \mathbb{R}$; es decir, es la función constante, con todas las ordenadas igual a $1$. Por otra parte, el segundo miembro, $g(x):=2$ es también una función constante, pero con todas las ordenadas igual a $2$. Es claro que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ no van a intersecarse, puesto que $1\neq 2$, luego la ecuación no tiene solución en $\mathbb{R}$.

Sin embargo, como enseguida vamos a ver, la ecuación planteada sí tiene solución en el conjunto de los números complejos. Para ello, vamos a recordar la fórmula de Euler (estudiada en primero de bachillerato): $$e^{i\,\theta}=\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta$$ siendo $\theta$ un ángulo en el plano complejo.

Entonces, démonos cuenta de que el $1$ de la base de la potencia $1^x$ del primer miembro puede escribirse de la forma $1=e^{i\,2k\pi}, \text{con}\;k\in \mathbb{Z}$. En consecuencia, la ecuación planteada, $1^x=2$, puede escribirse de la forma $$\displaystyle \left(e^{i\,2k\pi}\right)^x=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ que podemos escribir de la forma $$\displaystyle e^{i\,2k\,\pi\,x}=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ Operando con el logaritmo neperiano en cada miembro, $$\displaystyle \ln\,e^{i\,2k\,\pi\,x}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ y por tanto, $$\displaystyle i\,2k\,\pi\,x \cdot \underset{1}{\underbrace{\ln\,e}}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ en consecuencia, la solución consta de infinitos números complejos, con la siguiente estructura:
$$x=\dfrac{\ln\,2}{2k\,\pi\,i}=\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi\,i^2}=-\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi};\text{donde}\; \mathbb{Z} \ni k \neq 0$$ esto es, $$\displaystyle x\in \left\{ \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{2\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{4\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{6\,\pi}, \ldots \right\}$$

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Cálculo de una integral definida (un ejemplo). Aplicación de la regla de Barrow

Para calcular, a modo de ejemplo, la integral definida $$\displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx\,,\,\text{donde}\,a\lt b$$ necesitamos calcular, en primer lugar, la integral indefinida $$\displaystyle \int\,3^x\,dx$$ esto es, la familida de funciones primitivas $F(x)+C$ (siendo $C$ la constante arbitraria de integración), tales que, por el primer teorema del cálculo integral, cumpla que $\dfrac{d(F(x)+C)}{dx}=f(x)$, siendo $f(x)$ la función del integrando, es decir, $f(x)=3^x$

Veamos, primero, cuál es esa familia de funciones primitivas: $\displaystyle \int\,3^x\,dx\overset{[3=e^{\ln\,3}]}{=} \int\,\left(e^{\ln\,3}\right)^x\,dx=\int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx \overset{(1)}{=}\int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,\dfrac{d(x\,(\ln\,3))}{\ln\,3}=\dfrac{e^{x\,(\ln\,3)}}{\ln\,3} =\dfrac{3^x}{\ln\,3}+C$. Entonces, por el segundo teorema fundamental del cálculo integral (regla de Barrow), y a partir de cualquier función primitiva, por ejemplo $F(x)=\dfrac{3^x}{\ln\,3}$ (tomando, por ejemplo, $C=0$) tenemos que $\displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx\overset{(2)}{=}F(b)-F(a)=\dfrac{3^b}{\ln\,3}-\dfrac{3^a}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\left(3^b-3^a\right)$

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Nota (1):
Este paso, en realidad, es un cambio de variable: $u:=x\,(\ln\,3)$ y por tanto $du=\left( x\,(\ln\,3) \right)'\,dx = (\ln\,3)\cdot 1\,dx = (\ln\,3)\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{du}{\ln\,3}$, con lo cual $\displaystyle \int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx = \int\,e^u\,\dfrac{du}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\,e^u+C=\dfrac{1}{\ln\,3}\,e^{(\ln\,3)\,x}+C=\dfrac{3^x}{\ln\,3}+C$

Nota (2):
Otra manera de notar la aplicación de la regla de Barrow es: $\displaystyle \displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx=\left[ \dfrac{3^x}{\ln\,3} \right]_{a}^{b}=\dfrac{3^b}{\ln\,3}-\dfrac{3^a}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\left(3^b-3^a\right)$

Nota (3):
Podemos aplicar también la regla de Barrow a partir del cambio de variable (véase (1)) realizado y recalculando los nuevos límites de integración: $\displaystyle \int_{a}^{b}\,3^x\,dx=\int_{a}^{b}\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx\overset{(1)}{=}\int_{a\,\ln\,3}^{b\,\ln\,3}\,e^u\,\dfrac{du}{\ln\,3}=\left( \dfrac{e^{b\,\ln\,3}}{\ln\,3}-\dfrac{e^{a\,\ln\,3}}{\ln\,3}\right)=\dfrac{1}{\ln\,3}\,\left( e^{b\,\ln\,3} - e^{a\,\ln\,3}\right)=\dfrac{1}{\ln\,3}\,\left( 3^b-3^a \right)$

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Para personas interesadas en la preparación de las Olimpiadas Matemáticas (entre otros intereses): una aplicación práctica de la función especial $W$ de Lambert a la resolución de ecuaciones trascendentes de los tipos $x^x=a$, $x\,b^x=c$ y $a^{k\,x}=f(x)$, donde $a,b,c,k\in \mathbb{R}$ y $f(x)$ es una función lineal afín, en el cuerpo de los números reales

En este artículo voy a explicaros cómo podemos calcular la solución de una ecuación trascendente del tipo referido en el título. Voy a empezar resolviendo un caso sencillo, tal como $x^x=a$ para $x\in \mathbb{R}$ y siendo $a$ una constante a la cual le asignaremos el valor $2$, para dar consistencia práctica a este ejemplo. Después, resolveré casos un poco más complicados. Utilizaremos la función $W$ de Lambert, aunque en los tiempos que corren esto no esté incluído en el curriculo oficial de esta asignatura; sin embargo, sí se enseña este procedimiento a las personas interesadas en los problemas del tipo Olimpiada Matemática. Creo que aprender a hacerlo es muy útil, pues representa una vía de resolución alternativa a los métodos numéricos tales como el método de bisección (que sí se estudian en esta asignatura).

La función especial $W$ de Lambert se define de la siguiente manera: la función inversa (recíproca) de la función $f(x)=x\,e^x$ es $f^{-1}(x):=W(x)$, o lo que es lo mismo, si $y=x\,e^x$, se tiene que $W(y)=x$; dicho de otra forma: $W(x\,e^x)=x$ \quad (1), lo cual, también, lleva a poder escribir que $W(x)\,e^{W(x)}=x$ (siendo, en general, $x \in \mathbb{C}$). Dicha función tiene varias ramas, y sus valores pueden calcularse mediante algoritmos de cálculo numérico, que, al final, deberemos utilizar la mayor parte de las veces que necesitemos emplear dicho recurso. Suelo recurrir a la utilidad en línea WolframAlpha para esta finalidad.

Esa función especial de Lambert es de la que nos valdremos para resolver una ecuación de este tipo, eso sí, para no complicarnos excesivamente, nos restringiremos a operar con números reales.

Dicha función presenta varias ramas, para un mismo valor $k\in \mathbb{R}$, que se suelen designar mediante un subíndice: $W_{-1}(k), W_{0}(k), W_{1}(k),\ldots$, de las cuales en este caso en el que buscamos una solución en $\mathbb{R}$, solamente nos interesa la rama $W_{0}(k)$, cuyo valor (para un valor concreto de $k \in \mathbb{R}$ dado) podemos conocer consultando las tablas apropiadas o incluso consultar en línea alguna aplicación matemática, como por ejemplo Wolframalpha [https://www.wolframalpha.com/].

Desde luego, ni que decir tiene que, conocer a fondo la función $W$ de Lambert requiere un estudio exhaustivo y huelga decir que tal cosa sí corresponde a un curso universitario; pero, a efectos prácticos, lo que he dicho arriba es suficiente para resolver con elegancia este tipo de ecuaciones «sencillas» para un nivel de matemáticas de bachillerato, a partir, únicamente de la comprensión de la utilidad práctica de la propiedad (1).

Ejemplo 1

Bien, pues, el ejercicio de muestra que voy a tratar es (como ya he comentado) la resolución de la ecuación $x^x=2$, donde $x\in \mathbb{R}$. Lo describo a continuación, con algunos pasos algebraicos necesarios, paso a paso:
  $x^x=2$
    $\ln\,(x^x)=\ln\,2$
      $x\,\ln\,x=\ln\,2$
        $(e^{\ln\,x})\,\ln\left(e^{\ln\,x}\right)=\ln\,2$
          $(e^{\ln\,x})\,(\ln\,x)\,( \ln\,e)=\ln\,2$
            $(e^{\ln\,x})\,(\ln\,x)\cdot 1=\ln\,2$
              $(\ln\,x)\,e^{\ln\,x}=\ln\,2$
                $W\left((\ln\,x)\,e^{\ln\,x}\right)=W(\ln\,2)$
                  $W\left((\ln\,x)\,e^{\ln\,x}\right)=W(\ln\,2)$
                    $\ln\,x \overset{(1)}{=}W(\ln\,2)$, siendo el argumento de $W$, ahora, en particular, perteneciente a $\mathbb{R}$
                      $x=e^{W_{0}(\ln\,2)}=\;$ [Wolframalpha] $\;{\approx}1,5596 $.

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Comprobación:

Sustituyamos el valor encontrado en la ecuación original y veamos si se cumple la igualdad numérica entre ambos miembros:
  $1,5596^{1,5596}\overset{?}{=}2$
    $1,5596^{1,5596}\overset{\text{calculadora científica}}{=}1.99997...\approx 2$, que es (prácticamente) igual a la cantidad del segundo miembro.

Algunos ejemplos más:

Ejemplo 2

Voy a resolver ahora una ecuación algo distinta, tal como $2^x=\dfrac{1}{x}$. Para ello, como siempre, y en primer lugar, tendremos que trabajar un poco con el álgebra elemental para escribir la ecuación de tal manera que la aplicación de la propiedad reseñada arriba pueda utilizarse de manera bien clara:

$2^x=\dfrac{1}{x}$
  $x\,2^x=1 \quad (1)$
    $x\,\left(e^{\ln\,2}\right)^x=1$, habida cuenta de que $2\equiv e^{\ln\,2}$
      $x\,e^{x\,\ln\,2}=1$
        $(x\,\ln\,2)\,e^{x\,\ln\,2}=1\cdot \ln\,2$
          $W\left((x\,\ln\,2)\,e^{x\,\ln\,2}\right)=W(\ln\,2)$
            $x\,\ln\,2=W(\ln\,2)$
              $x=\dfrac{W(\ln\,2)}{\ln\,2}$
Consultando el valor de la función de Lambert para $\ln\,2$, vemos que $W(\ln\,2)\approx 0,4444$, lo cual lo he hecho mediante el asistente en línea WolframAlpha:

  W_0(log(2))
  Aproximación decimal
  0, 4444360910188604811868963306448808771676930202799304144725290184...

Por tanto, una aproximación del resultado exacto es $\dfrac{W(\ln\,2)}{\ln\,2}\approx 0,6411$

Comentario:
Dibujando las gráficas que corresponden a la función del miembro izquierdo, $f(x)=x\,2^x$, y derecho, $g(x)=1$ de $(1)$ se ve claramente que se intersecan en un sólo punto; así pues, la abscisa del mismo corresponde a la solución exacta encontrada.

Comprobación:

Sustituyendo este valor en la ecuación original: $2^{0,6411} \overset{?}{=} \dfrac{1}{0,6411}$. Vemos que el resultado aproximado puede darse por satisfactorio, pues el valor del primer miembro de la igualdad aproximada es $1,5595$, y el del segundo miembro es igual a $1,5598$, que difieren en tres diezmilésimas.

Ejemplo 3

Resolveré ahora una ecuación parecida: $2^x=2\,x$
que puedo escribirla de la forma,
  $2\,x\,2^{-x}=1$
    $2\,x\,\left(e^{\ln\,2}\right)^{-x}=1$
      $2\,x\,e^{-x\,\ln\,2}=1$
        $x\,e^{-x\,\ln\,2}=\dfrac{1}{2}$
          $-x\,e^{-x\,\ln\,2}=-\dfrac{1}{2}$
            $(-(\ln\,2)\,x)\,e^{-x\,\ln\,2}=-\dfrac{\ln\,2}{2}$
              $W\left(-(\ln\,2)\,x)\,e^{-x\,\ln\,2}\right)=W\left(-\dfrac{\ln\,2}{2}\right)$
              $-(\ln\,2)\,x=W\left(-\dfrac{\ln\,2}{2}\right)$
                $x=-\dfrac{W\left(-\dfrac{\ln\,2}{2}\right)}{\ln\,2}$
Consultando ahora el valor de la función W de Lambert con, por ejemplo, la ayuda de WolframAlpha:

obtenemos el resulado:
                $x=1$, cuya comprobación es inmediata.

Ejemplo 4

Otro caso interesante es, por ejemplo, el de la ecuación $2^x=x+1$, en la que he añadido un término constante al segundo miembro. También se ve claramente cuáles son los valores de la solución a simple vista: tanto $0$ como $1$ satisfacen la igualdad; en efecto, $2^0=1=0+1=1$ y $2^1=2=1+1=2$. Como en el ejemplo anterior, y aún a sabiendas de lo que debo encontrar, voy a seguir aplicando la técnica de la función de Lambert, lo cual será un agradable ejercicio, pues podremos comprobar si todo encaja. Empecemos pues con el juego algebraico apropiado para ir dando forma apropiada al argumento de la función W de Lambert. Démonos cuenta de que, en el fondo, en todos los casos expuestos estoy haciendo esencialmente lo mismo, esto es, reexpresar lo necesario de manera equivalente para poder utilizar esa interesante propiedad de la función especial de Lambert. Empecemos:
  $2^x=x+1$
    $(x+1)\,2^{-x}=1$
      $(x+1)\,2^{-x-1}\,2^1=1$
        $(x+1)\,2^{-x-1}=\dfrac{1}{2}$
          $-(x+1)\,2^{-(x+1)}=-\dfrac{1}{2}$
            $-(x+1)\,(e^{\ln\,2})^{(-(x+1))}=-\dfrac{1}{2}$
              $-(x+1)\,e^{-((\ln\,2)\,(x+1))}=-\dfrac{1}{2}$
                $(-(\ln\,2)\,(x+1))\,e^{(-(\ln\,2)\,(x+1))}=-\dfrac{1}{2}\,\ln\,2$
                  $W\left((-(\ln\,2)\,(x+1))\,e^{(-(\ln\,2)\,(x+1))}\right)=W(-\dfrac{\ln\,2}{2})$
                    $-(\ln\,2)\,(x+1)=W(-\dfrac{\ln\,2}{2})$
                      $x+1=-\dfrac{W(-\dfrac{\ln\,2}{2})}{\ln\,2}$
                        $x=-\dfrac{W(-\dfrac{\ln\,2}{2})}{\ln\,2}-1=1-1=0$
Obsérvese que si bien llegamos a uno de los dos valores que habíamos encontrado de un vistazo, $x_1=0$, no llegamos, en principio, a encontrar el segundo: $x_2=1$. Ello es debido a que la función de Lambert tiene más enjundia de lo que, sin querer, he llevado a hacer creer, pues, en realidad, tiene varias ramas, las cuales se designan por $W_n$ con $n\in \mathbb{Z}$.
Fijémonos en lo que nos da WolframAlpha como resultado general:

La ausencia en lo encontrado del segundo valor tiene que ver con el hecho de que sólo estoy utilizando una de las ramas múltiples ramas. Dicho ésto, no voy a profundizar más, siendo consciente que debo ceñirme a las posibilidades de comprensión para un nivel de segundo de Bachillerato. En cualquier caso, a las personas que estén muy interesadas, les sugiero la lectura de ampliación de la referencia [1], cuyo autor es el profesor Ángel Franco García, y en el que hace un estudio para $W_{-1}$ y $W_{0}$.

Ejemplo 5

Estudiemos ahora esta otra ecuación $2^x=2x+6$, que es similar a la anterior, y como se aprecia en la gráfica, la intersección de una función lineal afín con una función exponencial, da lugar a dos puntos; sus abscisas representan los valores que forman la solución de la ecuación.

Sigamos aplicando la técnica basada en la función W de Lambert para ver qué encontramos de esa manera:
  $2^x=2x+6$
    $2^x=2\,(x+3)$
      $2\,(x+3)\,2^{-x}=1$
        $2\cdot \,2^3\,(x+3)\,2^{-x-3}=1$
          $2^4\,(x+3)\,2^{-x-3}=1$
            $(x+3)\,2^{-x-3}=2^{-4}$
              $(x+3)\,(e^{\ln\,2})^{-x-3}=2^{-4}$
                $(x+3)\,e^{(-x-3)\,\ln\,2)}=2^{-4}$
                  $((-\ln\,2)(x+3))\,e^{(-(\ln\,2)\,(x+3)))}=(-\ln\,2)\cdot 2^{-4}$
                    $W\left(((-\ln\,2)(x+3))\,e^{(-(\ln\,2)\,(x+3)))}\right)=W\left((-\ln\,2)\cdot 2^{-4}\right)$
                      $(-\ln\,2)(x+3)=W\left((-\ln\,2)\cdot 2^{-4}\right)$
                        $x+3=\dfrac{W\left((-\ln\,2)\cdot 2^{-4}\right)}{-\ln\,2}$
                          $x=-\dfrac{W\left((-\ln\,2)\cdot 2^{-4}\right)}{\ln\,2}-3$
                            $x=-\dfrac{W\left(\frac{-\ln\,2}{16}\right)}{\ln\,2}-3$
Consultando (véase la figura abajo) el valor de la función de Lambert para el argumento dado, vemos que $W\left(\frac{-\ln\,2}{16}\right)\approx -0,0453$

Por tanto, el resultado aproximado del valor que se deduce en la línea de arriba es $x\approx -\dfrac{-0,0453}{\ln\,2}-3=-2,9346$. ¿Y qué ocurre con el segundo valor que deberíamos encontrar (próximo a $4$)? Pues bien, cabe aquí hacer el mismo comentario que en el ejemplo anterior, por lo que se refiere a las ramas de $W$ que no hemos utilizado; así que, de momento, no profundizaremos más. -oOo-

Referencias para el profesor:

  [1]   [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/especial/lambert/lambert.html]
  [2]   [https://es.wikipedia.org/wiki/Función_especial]
  [3]   [WolframAlpha]

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Un recurso de cálculo de 'cajón de sastre' para realizar algunos cálculos aproximados

Un recurso bastante útil en algunas situaciones en las que la base de una función exponencial no es el número $e$ se basa en la siguiente propiedad, que es válida para $\mathbb{R} \ni a\gt 0$: $$a=e^{\ln\,a}$$ En efecto, sacando logaritmos en base $e$ en cada miembro, $$\ln\,a=\ln\,\left(e^{\ln\,a}\right)=(\ln\,a)\cdot \ln\,e=(\ln\,a)\cdot 1=\ln\,a$$

Así, por ejemplo, para derivar la función $f(x)=a^x$, donde $a\neq e$, la podemos, en primer lugar, reescribir de la forma $f(x)=a^x=\left(e^{\ln\,a}\right)^x=e^{ex\,\ln\,a}$ y, a continuación, aplicar la regla de derivación de la función exponencial de base $e$, además de la regla de la cadena: $$f'(x)=\left(a^x\right)'=\left(\left(e^{\ln\,a}\right)^x\right)'=\left(e^{(\ln\,a)\,x}\right)'=(\ln\,a)\,e^x$$

Otra interesante utilidad que nos brinda este recurso es el de hacer algunos cálculos aproximados de una manera bastante eficaz, sobre todo si no disponemos de recursos suficientes. Pongamos que deseamos calcular el resultado aproximado de $\sqrt[10]{3}$, y que la única herramienta de que disponemos es un libro de tabls de logaritmos; pues bien, primero, reescribamos convenientemente nuestro problema: $$\sqrt[10]{3}=3^{\frac{1}{10}}=\left(e^{\ln\,3}\right)^\frac{1}{10}$$ Consultando ahora nuestras tablas de logaritmos, vemos que el valor de $\ln\,3$ con una precisión de hasta la cuerta cifra decimal es $1,0986$, con lo cual $\sqrt[10]{3}=\left(e^{1,0986}\right)^{\frac{1}{10}}=e^{0,10986}$

Finalmente, tengamos en cuenta que, en las proximidades de $x=0$, la función $f(x)=e^x$ es muy parecida a la función $g(x)=1+x$ (basta con desarrollar en serie de Tylor la función $f(x)$ alrededor de $x=0$ y truncarla en el segundo término (de orden $1$), y como, en ese sentido, $0,10986$ es un número razonablemente pequeño (cercano a $0$), podemos hacer la siguiente aproximación $e^{0,10986} \approx 1 + 0,10986 = 1,10986$ de la cual tomaremos, siendo conservadores en nuestra pretensiones, tres cifras significativas, esto es, $e^{0,10986} \approx 1,11$, pudiendose comprobar que las tres son cifras significativas correctas. $\diamond$

Primitivas no elementales

Hay integrales indefinidas cuya familia de primitivas no es expresable combinando funciones elementales (polinomicas, exponenciales, trigonométricas, etc.). Si os encontráis con alguna de ellas en un examen de bachillerato —sería sin duda un error de diseño del ejercicio—, por ejemplo, $\displaystyle \int\,e^{-x^2}\,dx$. En tal caso, simplemente tenéis que tener en cuenta lo que acabo de decir, y quedaros ahí, pues la dificultad para resolverlo no corresponde a vuestro nivel de aprendizaje; no es que no se pueda resolver, pues hay que tener bien presente y saber de antemano que cualquier función continua, como en este caso $e^{-x^2}$, ciertamente, es integrable.

Por si alguien tiene curiosidad, os diré que el resultado tiene que ver con una función llamada función error, $\text{erf}(x)$, (relacionada con la probabilidad y la estadística), $\displaystyle \int\,e^{-x^2}\,dx=\dfrac{{\sqrt{\pi}}}{2}\,\text{erf}(x)+C\,,\,\forall\,C \in \mathbb{R}$, pero eso os lo dejo para el curso siguiente, que ya estaréis en la facultad.

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Observación importante:

No obstante lo que acabo de decir, sí que tenéis que saber lo que os voy a comentar a continuación, lo cual, dicho sea de paso, está relacionado con esa función error de la que os acabo de hablar (como veréis en cursos superiores):

Cuando estudiéis la función de distribución de probabilidad de Gauss (en este mismo curso) veréis que el resultado de la integral impropia $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^{2}/2}\,dx$ es igual a $\sqrt{2\,\pi}$, pues al ser $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,e^{-x^{2}/2}$ la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal (gaussiana) de media $\mu=0$ y desviación estándar $\sigma=1$, al integrar en todo el dominio, su resultado ha de ser igual a la probabilidad total, esto es, igual a $1$ $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,e^{-x^{2}/2}\,dx= \dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^{2}/2}\,dx=1 \Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^{2}/2}\,dx=\sqrt{2\,\pi}$$ De ahí se demuestra que $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\,dx= \sqrt{\pi}$$ En efecto, haciendo el cambio de variable $x:=t/\sqrt{2}$, se tiene que $dx=\left( t/\sqrt{2} \right)'\,dx = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,dx$; entonces, como $t \rightarrow -\infty$ cuando $x \rightarrow -\infty$ y $t \rightarrow +\infty$ cuando $x \rightarrow +\infty$, se tiene que $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-t^2\,/2}\,\dfrac{dt}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-t^2\,/2}\,dt=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2\pi}=\sqrt{\pi}.\,\diamond$$

Un ejercicio de cálculo de primitivas

Se nos pide que resolvamos la siguiente integral indefinida: $$\displaystyle \int\,2x^2\,e^{-x^3}\,dx$$

Que no cunda el pánico. Observemos que la derivada de $e^{-x^3}$ es $-3\,x^2\,e^{-x^2}$, y por tanto $d(e^{-x^3})=-3\,x^2\,e^{-x^2}\,dx$. Démonos cuenta de que delante del diferencial de la variable de integración, $dx$, ya está —casi— lo que tenemos en la función integrando; faltará hacer algún que otro ajuste. Vamos a ello:
$\displaystyle \int\,2x^2\,e^{-x^3}\,dx=$
  $\displaystyle =2\,\int\,x^2\,e^{-x^3}\,dx$
    $\displaystyle =2\,\int\,-\dfrac{1}{3}d\left(e^{-x^3}\right)\,dx$
      $\displaystyle =-\dfrac{2}{3}\,\int\,d\left(e^{-x^3}\right)\,dx$
        $\displaystyle =-\dfrac{2}{3}\,e^{-x^3}+C\,,\,\,\forall\,C\in \mathbb{R}.\diamond$

Acerca del determinante de una matriz (cuadrada) de tipo triangular

Una propiedad interesante sobre el determinante de una matriz triangular, ya sea ésta superior o bien inferior, es que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Subrayemos el hecho de que si no utilizamos esta propiedad, el cálculo del determinante a partir del algoritmo general puede llevarnos mucho trabajo, cuánto más si el orden de la matriz es mayor que $2$. Notemos que si alguno de los elementos de la diagonal principal es nulo, el determinante es igual cero (no haría falta en tal caso hacer ningún cálculo). Veamos un par de ejemplos:

Ejemplo 1

Calculemos el determinante de la matriz $$A=\begin{pmatrix}2&144&-1&6 \\ 0&3&24&58 \\ 0&0&-5&128 \\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$$ Observemos que se trata de una matriz triangular (triangular superior), entonces, tal y como se ha dicho arriba, basta multiplicar los elementos de la diagonal principal: $$\begin{vmatrix}2&144&-1&6 \\ 0&3&24&58 \\ 0&0&-5&128 \\ 0&0&0&-3 \end{vmatrix} = 2\cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-3) = 90$$

Ejemplo 2

Averigüemos si la siguiente matriz posee inversa $$B=\begin{pmatrix}6&0&0&0 \\ 14&2&0&0 \\ 121&-9&0&0 \\ 1264&6&137&45 \end{pmatrix}$$ Recordemos que una matriz cuadrada posee inversa (y en tal caso es única) si y sólo si es regular, y, por tanto, si y sólo si su determinante es distinto de cero. Observemos que se trata de una matriz triangular (triangular inferior), entonces, al igual que hemos hecho en el ejemplo anterior, para calcular el valor de su determinante basta multiplicar los elementos de la diagonal principal, y como uno de ellos es nulo, no hace falta realizar ninguna operación, pues el valor de dicho determinante ha de ser cero: $$\begin{vmatrix}6&0&0&0 \\ 14&2&0&0 \\ 121&-9&0&0 \\ 1264&6&137&45 \end{vmatrix} = 6\cdot 2 \cdot 0 \cdot 45 = 0$$ En consecuencia, la matriz $B$ no es regular, con lo cual podemos afirmar que no posee matriz inversa.

Integrales indefinidas

Resolvamos la siguiente integral indefinida (calculemos la familia de primitivas asociada a la función del integrando): $$\displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx$$ que es un interesante ejercicio para practicar, en este caso, el método de integración de por partes

Observemos que la función integrando, $x\,\ln(x)$, es el producto de dos funciones elementales bien distintas, lo cual nos lleva a decidirno por utilizar la técnica de integración por partes: $$\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$$

Ensayemos la siguiente agrupación, $u:=x$ y $dv:=\ln(x)\,dx$. Entonces, $du=(x)'\,dx = 1\cdot dx=dx$ y $\displaystyle v=\int\,\ln(x)\,dx$; esta integral que nos permitirá conocer $v$, podemos integrarla a su vez empleando también el método de por partes, $\displaystyle \int t\,dw=t\,w-\int\,w\,dt$, mediante la siguiente agrupación: $t:=\ln(x) \therefore dt=(\ln(x))'\,dx=\dfrac{1}{x}\,dx$ y $dw:=dx \therefore w=x$, con lo cual $\displaystyle v=x\,\ln(x)-\int\,x\,\dfrac{1}{x}\,dx+\text{constante}=x\,\ln(x)-x+\text{constante}=x\,(\ln(x)-1)+\text{constante}$, pudiendo elegir cualquier valor para la constante de integración, que es arbitraria, pues nos basta con encontrar una primitiva; pongamos que le asignemos el valor cero, entonces dicha primitiva es $v=x\,(\ln(x)-1)$

Así las cosas, $\displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx=:\int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du=x\,\left(x\,(\ln(x)-1)\right)-\int\,x\,(\ln(x)-1)\,dx=$
  $x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\int\,x\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow$
    $ \Rightarrow 2\,\int\,x\,\ln(x)\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow$
      $ \Rightarrow \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{2}\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{4}\,x^2+C$
y compactando un poco las expresiones, $$ \displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{4}\,\left[2\,(\ln(x)-1)+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-2+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-1\right]+C\,,\,\forall C\in \mathbb{R}$$ siendo $C$ la constante (de valor arbitrario) de integración. $\diamond$

¿Qué son los elementos pivote de una matriz?

Dada una matriz $M$ de tamaño $m \times n$, se denomina pivote (de una cierta fila) al primer elemento distinto de cero de dicha fila. Este concepto es importante a la hora de leer los textos que hablan de la reducción de una matriz, para poder entenderlos bien. Así, por ejemplo, en la siguiente matriz, de tamaño $3 \times 4$, $A=\begin{pmatrix}0&0&2&-1\\ 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\end{pmatrix}$, el pivote de la primera fila es $2$; el de la segunda fila es $4$ y el de la tercera es $8$.

Calculemos el rango de dicha matriz:

Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas no identicamente nulas que quedan tras haber reducido por Gauss (escalonado) dicha matriz. Tengamos en cuenta que el rango de una matriz no se altera al cambiar el orden de las filas; así que, para escalonar una matriz, podemos ordenar las filas de manera que el pivote de la primera esté a la izquierda del de la segunda, y el de la segunda a la izquierda del de la tercera, siguiendo así en el caso de que hubiesen más filas; a continuación, procederíamos a realizar las combinaciones entre filas que permitiesen obtener los ceros por debajo de cada pivote (en las respectivas columnas). En el caso que nos ocupa, no hace falta hacer ninguna combinación entre filas: basta con cambiar la primera fila por la segunda, y, a continuación, la segunda por la tercera, con lo cual vemos que $\text{rango}(A)=\text{rango}\,\begin{pmatrix} 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\\ 0&0&2&-1\end{pmatrix}=3$ ya que, habiendo quedado escalonada la matriz que nos ocupa, el número de filas no identicament nulas es $3$· $\diamond$

Un ejercicio de integración que parece difícil, pero sólo lo parece

(1) Ciertamente hay ejercicios de integración indefinida que, a primera vista, asustan, como por ejemplo, $\displaystyle \int\,x\,e^{ln\,x}\,dx$, pero mirándola bien, no es tan difícil. Veamos la razón de ello:

Teniendo en cuenta que la exponencial y el logaritmo son funciones mútuamente recíprocas, se tiene que $e^{\ln\,x}=x$, luego $\displaystyle \int\,x\,e^{ln\,x}\,dx=\int\,x\cdot x\,dx=\int\,x^2\,dx=\dfrac{1}{3}\,x^3+C.\,\diamond$

(2) Un poco más liosa es la siguiente integral, pero no ofrece muchas dificultades por la misma razón que la apuntada: $\displaystyle \int\,x\,2^{ln\,x}\,dx$

Observemos ahora que si llamamos $t:=2^{\ln\,x}$, sacando logaritmos neperianos en cada miembro, se tiene que $\ln\,t=\ln\,\left(2^{\ln\,x}\right)=\ln\,2 \cdot \ln\,x$, luego $t=e^{\ln\,2 \cdot \ln\,x}=\left( e^{\ln\,x}\right)^{\ln\,2}=\ln\,2\cdot e^{\ln\,x}=x\,\ln\,2$. Por consiguiente, $\displaystyle \int\,x\,2^{ln\,x}\,dx=\int (\ln\,2)\,x \cdot x\,dx=\dfrac{\ln\,2}{3}\,x^3+C.\,\diamond$

Cálculo de integrales indefinidas por medio de cambios de variable

Calculemos la integral indefinida $\displaystyle \int\,\ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right)\,dx$, siendo $p,q,r \in \mathbb{R}^+$. Ayuda: Como es sabido por un resultado anterior, aplicando el método de integración por partes, se sugiere utilizar $\int\,\ln(t)\,dt=t\,(\ln(t)-1)+C$.

Transformemos (de manera equivalente) la función del integrando para poder aplicar el resultado conocido: $\displaystyle I:=\int\,\ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right)\,dx= \int\,\ln\,\left( \dfrac{p/p}{q/p+(r/p)\,x} \right)\,dx=\int\,\ln\,\left( \dfrac{1}{q/p+(r/p)\,x} \right)\,dx=$
$=\displaystyle \int\,\left( \ln(1)-\ln\,(q/p+(r/p)\,x) \right)\,dx=\int\,\ln(1)\,dx-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=$
$=\int\,0\,dx-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=0-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx$

Mediante el cambio de variable $t:=\dfrac{q}{p}+\dfrac{r}{p}\,x$ se tiene que $dt=\dfrac{r}{p}\,dx$ y por tanto $dx=\dfrac{p}{r}\,dt$, con lo cual $\displaystyle I=-\int\,\dfrac{p}{r}\,\ln(t)\,dt=-\dfrac{p}{r}\,t\,(\ln(t)-1)+C$; y, deshaciendo el cambio de variable: $$I=-\dfrac{p}{r}\,\left[ \dfrac{q+rx}{p} \, \left( \ln\,\left(\dfrac{q+rx}{p}\right) -1 \right) \right] +C = \dfrac{1}{r}\,(q+r\,x)\,\left[ \ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right) +1 \right]+C\,.\diamond$$

Cálculo de integrales definidas

Calculemos la integral definida $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx$.

Por el primer teorema fundamental del cálculo (TFC1), sabemos que $\displaystyle \int\,f(x)\,dx=F(x)+C$ de tal manera que $(F(x)+C)'=f(x)$. En primer lugar, por tanto, vamos a calcular una función primitiva, $F(x)$, de la familia de primitivas $F(x)+C$ que corresponde a la solución de la integral indefinida $\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, donde en este caso concreto que nos ocupa $f(x)=\dfrac{3}{3+2x}$ es la función integrando; y, finalmente aplicaremos el segundo teorema fundamental del cálculo (TFC2), también conocido como regla de Barrow: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=F(12)-F(6)$, tomando una función cualquiera de la familia de primitivas (eligiendo cualquier valor de la constante de integración $C$).

Cálculo de la familia de primitivas: $I:=\displaystyle \int\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int\,\dfrac{3/3}{3/3+(2/3)\,x}\,dx=\int\,\dfrac{1}{1+(2/3)\,x}\,dx$. Sabemos que $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{t}\,dt=\ln\,t+C$, así que, mediante el cambio de variable $t:=1+(2/3)\,x$ se tiene que $dt=\dfrac{2}{3}\,dx$, luego $dx=\dfrac{3}{2}\,dt$, con lo cual $I=\displaystyle \int\,(3/2)\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,t+C$. Y deshaciendo el cambio de variable, $I=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)+C$. Una función primitiva es, por ejemplo, $F(x):=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)$, donde, por comodidad, hemos elegido arbitrariamente el valor cero para la constante de integración (cualquier otro valor de la constante de integración lleva al mismo resultado de la integral definida).

A continuación, según TFC2, llegamos finalmente a: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\left[\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\right]_{6}^{12}=\displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left( \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 12) - \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 6 \right)=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\left(\dfrac{9}{5}\right)$.

---

Nota: De una manera más directa, $$\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int_{5}^{9}\,\dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{t}\,dt= \displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left[\,\ln\,t\,\right]_{5}^{9}=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\dfrac{9}{5}.\, \diamond$$

Ejemplo de representación gráfica, con GNU MAXIMA, de planos en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$

Visualicemos, por ejemplo, la incidencia entre los planos $\pi:z-x-y+1=0$ y $\sigma:z+x-y=0$:

(%i57)	
  pi:x+y-1$
  sigma:-x+y$
  wxplot3d([x+y-1,-x+y,[x,-1,1],[y,-1,1]]);    

Se puede apreciar claramente la recta de intersección, cuya ecuación viene dada por la solución del sistema de ecuaciones compatible indeterminado $\left\{\begin{matrix}-x-y+z=-1 \\ x-y+z=0\end{matrix}\right.$; tomando una de las variables como parámetro libre, podemos calcular cualquiera de los infinitos puntos de los que consta dicha recta en el espacio. Se puede comprobar fácilmente que, de las ecuaciones implícitas (cartesianas) de arriba se llega a las siguientes ecuaciones paramétricas para la recta solución: $$ \left\{(x,y,z)=(-1/2\,,\,1/+\lambda\,,\,\lambda):\forall\,\lambda \in \mathbb{R}\right\}$$

$\diamond$

Algoritmo de multiplicación de dos matrices cuadradas de orden $3$. Implementación en lenguaje Python

ENUNCIADO. Sean dos matrices cuadradas de orden $3$: $A=(a_{ij})_{3 \times 3}$ y $B=(b_{ij})_{3 \times 3}$. Sabemos que el producto $A\,B$, viene dado por $\displaystyle A\,B=(c_{ij})_{3 \times 3}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\cdot b_{kj}$ para $i=1,2,3$ y $j=1,2,3$. Escríbase un programa en Python para multiplicar dos de esas matrices, elegidas libremente.

SOLUCIÓN

def multiplicar_matrices(A, B):
    C = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
    
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            for k in range(3):
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
    
    return C

# Ejemplo de matrices de orden 3
A = [[1, 0, -1],
           [2, 1, 3],
           [-2, 0, -1]]

B = [[4, 1, 0],
           [5, -5, 0],
           [3, 2, 1]]

# Llamada a la función para multiplicar las matrices
C = multiplicar_matrices(A, B)

# Imprimir el resultado C
for fila in C:
    print(fila)

Puesta en marcha del programa y resultado:

>>> %Run multiplicardosmatricesdeorden3.py
[1, -1, -1]
[22, 3, 3]
[-11, -4, -1]

$\diamond$

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Utilidades:

  [1] El software básico para trabajar con Python: https://www.python.org/
  [2] Un entorno de trabajo: https://thonny.org/
  [3] Un compilador en línea: https://www.tutorialspoint.com/online_python_compiler.php

Cosas que pasan cuando se empieza a trabajar con una herramienta CAS

Un ejemplo con GNU MAXIMA:

(%i1)	/* Habiendo asignado un valor concreto a la variable
	x ...*/
	x:3$
	
(%i2)	/* Quiero calcular, a continuación, la derivada 
	de una función, de variable x, por ejemplo ... */
	diff(x^2+x+1,x);
    
	/* y me encuentro con el siguiente problema: 
    MAXIMA nos dice ... */
    
       diff: second argument 
       must be a variable; found 3
       -- an error. 
       To debug this try: debugmode(true);

(%i3)	/* Para solucionarlo (no hace falta entrar en el modo
        depuración de código), basta con borrar la asignación
	    de valor que, en un principio 
        había realizado a la variable */ 
    
	kill(x)$

(%i4)	/* Ahora sí podré obtener la derivada ...*/
	diff(x^2+x+1,x);

(%o4)	2*x+1

$\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Un ejercicio con matrices del tipo triangular inferior

ENUNCIADO. Sean $a,b,c,d$ números reales, la matriz triangular inferior $A=\begin{pmatrix}a&0\\ b&a\end{pmatrix}$ no nula y la matriz triangular inferior $B=\begin{pmatrix}c&0\\ d&c\end{pmatrix}$ no nula (nótese que los elementos de las diagonales principales son tales que $A_{11}=A_{22}=a$ y $B_{11}=B_{22}=c$). Compruébese que, así definidas, las matrices $A$ y $B$ conmutan.

SOLUCIÓN. Los cálculos simbólicos los he realizado con ayuda de la herramienta CAS, GNU MAXIMA [1]

(%i28)	A:matrix( [a,0],[b,a]   ); /* Defino una matriz genérica A */
(%o28)	matrix(
		[a,	0],
		[b,	a]
	)
(%i29)	B:matrix( [c,0],[d,c]   ); /* Defino una matriz genérica B */
(%o29)	matrix(
		[c,	0],
		[d,	c]
	)
(%i30)	is(A.B=B.A); /* Compruebo si conmutan. Nótese que en MAXIMA 
                      es necesario usar el punto bajo (.)
                      para la multiplicación de matrices 
                      en lugar del punto elevado (·), pues éste
                      multiplica elemento a elemnto; tal cosa
                      da lugar a muchas confusiones */
(%o30)	true /* En efecto, así es */


(%i31)	A.B; /* Observo el por qué */
(%o31)	matrix(
		[a*c,	0],
		[a*d+b*c,	a*c]
	)
(%i32)	B.A;
(%o32)	matrix(
		[a*c,	0],
		[a*d+b*c,	a*c]
	)
(%i33)	A.B-B.A;
(%o33)	matrix(
		[0,	0],
		[0,	0]
	)

$\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Toda matriz cuadrada puede expresarse de manera única como la suma de una matriz cuadrada simétrica y una matriz cuadrada hemisimétrica

Proposición

Pruébese que siendo $Q$ cualquier matriz cuadrada de orden $n$, no nula. Entonces, es posible escribir $Q=S+H$ de manera única, donde $S$ es una matriz (no nula) simétrica ($S=S^\top$); y $H$ es una matriz (no nula) hemisimétrica ($H=-H^\top$), ambas de orden $n$.

Demostración

Al ser $S$ una matriz simétrica, podemos escribirla de la forma $S=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top) \quad (1)$, donde $Q$ es una matriz cualquiera. En efecto, al trasponer $S$, se tiene que $S^\top= \dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q^\top+Q)=S$, como debe ser.

Y al ser $H$ una matriz hemisimétrica, podemos escribirla de la forma $H=\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top) \quad (2)$, donde, igual que antes, $Q$ es una matriz cualquiera. En efecto, al trasponer $H$, se tiene que $H^\top= \dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q^\top-Q)=-\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=-H$, como debe ser.

De lo arriba dicho se sigue que, sumando miembro a miembro, las igualdades (1) y (2), se tiene que $S+H=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top)+\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q+Q^\top-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\,Q=Q$.

Veamos ahora que dicha descomposición $Q=S+H$ es única. Empecemos suponiendo lo contrario, entonces existe una matriz simétrica $S'\neq S$ y una matriz hemisimétrica $H'\neq H$ tales que $Q$ también puede expresarse como $Q=S'+H'$, entonces $Q=S+H=S'+H'$, y, por tanto, $(S+H)^\top=(S'+H')^\top$, esto es, $S^\top+H^\top=S'^\top+H'^\top$, y de ahí se sigue que $S-H=S'-H'$, luego $S-S'=H-H' \Leftrightarrow S-S'=H-H'=O$ (matriz nula), con lo cual $S=S'$ y $H=H'$, en contra de la hipótesis de partida.$\square$

Ejemplo

Cálculos efectuados con GNU Octave (la notación prima como instrucción indica la traspuesta de una matriz)

>> Q=[1,2,3;-1,0,2;2,1,1]
Q =

   1   2   3
  -1   0   2
   2   1   1

>> S=(Q+Q')/2
S =

   1.0000   0.5000   2.5000
   0.5000        0   1.5000
   2.5000   1.5000   1.0000

>> H=(Q-Q')/2
H =

        0   1.5000   0.5000
  -1.5000        0   0.5000
  -0.5000  -0.5000        0

>> S+H
ans =

   1   2   3
  -1   0   2
   2   1   1

$\diamond$

Un ejemplo de las bondades de usar una herramienta de cálculo automático para operar con matrices

Toda vez que ya se sepa operar perfectamente a mano, conviene aprender a utlizar un programa/calculadora que permita hacer cálculos de manera automática. Aquí tenéis un ejemplo con GNU Octave [1]: dada la matriz cuadrada, de orden $3$, $A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$ y la matriz identidad (también de orden $3$), $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, queremos calcular la matriz que resulta al realizar la operación $A^5-2\,A^3+7\,A-I$. Basta con escribir las siguientes instrucciones en el panel correspondientes, para obtener el resultado rápidamente.

>> A=[1,-1,0;1,0,0;1,1,1]
A =

   1  -1   0
   1   0   0
   1   1   1

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1

>> A^5-2*A^3+7*A-I
ans =

   8  -6   0
   6   2   0
   0   9   5

>>

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU Octave

Un ejercicio sobre el producto de matrices

ENUNCIADO. Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$. Calcúlense los productos $A\,B$ y $B\,A$.

SOLUCIÓN. Los tamaños de las matrices son $A_{1\times 3}$ y $B_{3\times 1}$, por lo que $A\,B$ es una matriz de tamaño $1\times 1$; y $B\,A$, una matriz de tamaño $3\times 3$. Operando según la regla de multiplicación matricial, se obtiene $A\,B=1$ y $B\,A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}$. $\diamond$

-oOo-

Comentario/sugerencia: Si ya se ha aprendido a multiplicar matrices sin la ayuda de calculadora/ordenador, se utilice algúna herramienta de cálculo numérico (o bien alguna herramientas CAS). A continuación, muestro las instrucciones para hacerlo con GNU Octave [1]

    >> A=[1,0,1]
A =

   1   0   1

>> B=[0;1;1]
B =

   0
   1
   1

>> A*B
ans = 1
>> B*A
ans =

   0   0   0
   1   0   1
   1   0   1

>>

  

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU Octave

Otro ejercicio sobre potencias sucesivas de matrices cuadradas

ENUNCIADO. Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$, calcúlense las potencias sucesivas de $A$.

SOLUCIÓN. Calculemos las primeras potencias sucesivas: $$A^2=A\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ y, por tanto, $$A^3=A^2\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ $$A^4=A^3\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ y así sucesivamente; en vista de lo cual, se concluye que $A^n= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$ para todo $n\ge 2$. $\diamond$

Uso del álgebra lineal en un problema de sucesiones numéricas

ENUNCIADO. Considérese la sucesión de números enteros positivos $1,3,6,10,15,\ldots$. Obténgase la fórmula del término general y calcúlese el valor de quincuagésimo término.

SOLUCIÓN. Observemos que la sucesión de las primeras diferencias es $2,3,4,5,\ldots$; y, la de las segundas, $1,2,3,\ldots$. Una sucesión tal como la propuesta es de naturaleza cuadrática en $n$ (índice de los términos de la sucesión), por tanto podemos escribir que el término genérico es $f(n)=a\,n^2+b\,n+c$, donde los coeficientes (a determinar) son números racionales.

Calculemos pues el valor de dichos coeficientes. Para ello, basta tener en cuenta que $f(1)=1=a\cdot 1^2 + b\cdot 1+c$; $f(2)=3=a\cdot 2^2 + b\cdot 2+c$; y $f(3)=6=a\cdot 3^2 + b\cdot 3+c$. Así, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\ 4a+2b+c=3\\ 9a+3b+c=6\end{matrix}\right.$$

En forma matricial, el sistema se escribe $$M\,X=B$$ donde $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1\\3\\6\end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$

En mis materiales encontraréis muchos ejercicios de resolución de un sistema de ecuaciones lineales, paso a paso. En este caso en concreto, no deberíais tener ninguna dificultad para resolverlo sin ayuda de calculadora o de un ordenador; por lo que en este ejercicio vamos a emplear un programa de cálculo numérico, como es GNU OCTAVE [1], para resolverlo de manera automática, que, por razones más que obvias, también es muy conveniente que aprendáis a utilizarlo.

Las instrucciones que hay que escribir son muy sencillas, si bien pueden emplearse instrucciones de GNU Octave que corresponden a varios procedimientos alternativos de álgebra lineal (el enlace lleva a un artículo de otro de mis blogs, que recomiendo que leáis):

  >> M=[1,1,1;4,2,1;9,3,1]
M =

   1   1   1
   4   2   1
   9   3   1

>> B=[1;3;6]
B =

   1
   3
   6

>> X=linsolve(A,B)
A =

   0.5000
   0.5000
        0

  

Entonces, $a=b=1/2$ y $c=0$. Por consiguiente, $f(n)=\dfrac{n^2+n}{2}$; y, por tanto, $f(50)=\dfrac{50^2+50}{2}=1275$. $\diamond$

$\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU Octave

Un ejercicio de demostración por inducción, y cálculo de la potencia $20$-ésima de una cierta matriz (cuadrada)

ENUNCIADO. Siendo $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$, demuéstrese la siguiente proposición $$\mathcal{P}:\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \text{para} \quad \mathbb{N} \ni n\ge 1$$

Una vez probada la proposición, calcúlese $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}$

SOLUCIÓN. Utilizaremos el métode de demostración por inducción, y por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1. La proposición se cumple para $n=1$; en efecto, $A=A^1\overset{\mathcal{P}(1)}{=}A^n|_{n=1}=\begin{pmatrix}1&1&\dfrac{1^2+1}{2}\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
2. Suponemos que la proposición es cierta para $n$: $\mathcal{P}(n): A^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}$ (hipótesis de inducción)
3. Deberemos probar ahora que la proposición también se cumple para $n+1$: $A^{n+1}=A^n\,A=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&1+n+\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$
   $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{2(n+1)+n(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)\left((n+1)+1\right)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$ $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)^2+(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}$ y por tanto queda demostrada la validez de $\mathcal{P}$ para $n+1$, $\mathcal{P}(n+1)$. $\square$

Entonces, $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}\overset{\mathcal{P}(n=20)}{=}\begin{pmatrix}1&20&\dfrac{20^2+20}{2}\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&20&210\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}$

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Potencia $n$-ésima de la matriz unitaria de orden $3$

ENUNCIADO. Pruébese (demuéstrese) que siendo $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$, entonces $A^n=3^{n-1}\,A$ para $\mathbb{N} \ni n\ge 1$

SOLUCIÓN. Utilizaremos el métode de demostración por inducción, y por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1. La proposición se cumple para $n=2$; en efecto, $A^2=A\,A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3&3\\3&3&3\\3&3&3\end{pmatrix}=3\,A=3^{2-1}\,A$
2. Suponemos que la proposición es cierta par $\mathbb{N} \ni n\ge 1$: $A^n=3^{n-1}\,A$ (hipótesis de inducción)
3. Deberemos probar ahora que también se cumple para $n+1$: $A^{n+1}\overset{\text{?}}{=}3^{(n+1)-1}\,A$, esto es $A^{n+1}\overset{\text{?}}{=}3^{n}\,A$. En efecto, de $A^{n}=3^{n-1}\,A$, y multiplicando por $A$ ambos miembros de la igualdad, se tiene que $A^{n}\,A=A^{N+1}=3^{n-1}\,A\,A=3^{n-1}\,A^2\overset{(1)}{=}3^{n-1}\cdot 3\, A=3^{(n-1)+1}\,A=3^n\,A=3^{(n+1)-1}\,A$

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Potencias sucesivas matrices que convergen a la matriz nula

ENUNCIADO. Dada la matriz $D=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$, calcúlense las potencias sucesivas de $D$.

2 ​ 3

SOLUCIÓN. Calculemos $D^2$: $$D^2=D\,D=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$, y, por tanto, $$D^3=D^2\,D=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ y, al obtener la matriz nula, hemos terminado; esto es $D^n$ es la matriz nula si $n\ge 3$. $\diamond$

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Observación: Recordemos, por otra parte, que $D^0=I$ (matriz identidad).

Matrices con potencias cíclicas

ENUNCIADO. Dada la matriz $C=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, calcúlese la matriz $A^n$, donde $n$ es un número entero no negativo.

SOLUCIÓN. Calculemos $C^2$: $$C^2=CC=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I \quad \text{(matriz identidad)}$$ Entonces, $C^3=C^2\,C=I\,C=C$; $C^4\,C^3\,C=C^2=I$; $C^5=C^4\,C=I\,C=C$, y así sucesivamente (recordemos, también, que $C^0=I$); es decir, se estable un ciclo de potenciación de período $2$, por tanto, para un $n$ genérico se tiene que $C^n=C^r$, donde $r=\text{residuo}(n\div 2)$.

Dicho de otro modo: $$C^n=\left\{\begin{matrix}C & \text{si} & n & \text{es impar} \\ I & \text{si} & n & \text{es par} \end{matrix}\right.$$ $\diamond$

Matrices en el cuerpo de los números complejos

ENUNCIADO. Se consideran las siguientes matrices cuadradas de orden $3$ con elementos en el cuerpo $\mathbb{C}$: $$A=\begin{pmatrix}1&i&1\\ 1&1&i \\ 1&1+i&1+1\end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1/2&i/2&\dfrac{1-i}{2} \\ i/2&-1/2&\dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}$$

Demuéstrese que una es la inversa de la otra.

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SOLUCIÓN. Recordemos las operaciones básicas con números complejos (suma y multiplicación), y, en especial, tengamos en cuenta que para calcular las sucesivas potencias de la unidad imaginaria $i$, hay que recordar que: $i=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=i^{2}\cdot i=-i$. Ello, junto con las operaciones de multiplicación de matrices y cálculo del determinante de una matriz cuadradas, es básico para resolver este ejercicio de cálculo con matrices.

Además, hay que tener en cuenta que, para que una matriz tenga matriz inversa, dicha matriz ha de ser regular (no singular), y, por tanto, su determinante ha de ser distinto de cero; que es lo que ocurre tanto con $A$ como con $B$. Puede comprobarse que $\text{det}(A)=2\neq 0$ y $\text{det}(B)=1/2\neq 0$, luego una y otra tienen matriz inversa.

Si dos matrices son mútuamente inversas, como supuestamente ocurre con las dos matrices propuestas, deberá cumplirse que $AB=BA=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$ en es $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ y, efecto, efectuando las multiplicaciones vemos que $$\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1/2&i/2&\dfrac{1-i}{2} \\ i/2&-1/2&\dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&i&1\\ 1&1&i \\ 1&1+i&1+1\end{pmatrix}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

y $$\begin{pmatrix}1&i&1\\ 1&1&i \\ 1&1+i&1+1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1/2&i/2&\dfrac{1-i}{2} \\ i/2&-1/2&\dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

de lo cual se sigue que $A=B^{-1}$ y $B=A^{-1}$. $\diamond$

Un ejemplo de problemas que parecen más difíciles de lo que en realidad son

El buen manejo de las propiedades de los determinantes facilita la resolución de muchos problemas, que, en un primer vistazo, parencen complicados. Ved, por ejemplo, el siguiente:

Sean $A_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & 1 & &&\\ & 0 & 1 && \\ && \ddots & \ddots && \\& && 0 & 1 \\ & && & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y unos en la segunda diagonal superior, siendo nulos el resto de los elementos) y $B_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & & &&\\ 1 & 0 & && \\ & 1 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ \\ & & & 1 & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y unos en la segunda diagonal inferior, siendo nulos el resto de los elmentos)

Demuéstrese que los determinantes $\text{det}(AB)$ y $\text{det}(BA)$ son ambos nulos.

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Recordemos la siguiente propiedad de los determinantes: $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)=\text{det}(B)\cdot \text{det}(A)=\text{det}(BA)$ . Sabemos que el determinante de una matriz triangular, ya sea ésta triangular superior o bien triangular inferior, es igual al producto de los elementos de su diagonal principal; entonces, como $A$ es una matriz triangular superior, y $B$ es una matriz triangular inferior, ambas con ceros en la diagonal principal, se tiene que $\text{det}(A)=0$ y $\text{det}(B)=0$; por consiguiente, y teniendo en cuenta la propiedad referida acerca del determinante del producto de matrices, concluimos que $\text{det}(AB)=0\cdot 0=0$ y $\text{det}(BA)=0\cdot 0=0$. $\diamond$