Matrices en el cuerpo de los números complejos

ENUNCIADO. Se consideran las siguientes matrices cuadradas de orden $3$ con elementos en el cuerpo $\mathbb{C}$: $$A=\begin{pmatrix}1&i&1\\ 1&1&i \\ 1&1+i&1+1\end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1/2&i/2&\dfrac{1-i}{2} \\ i/2&-1/2&\dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}$$

Demuéstrese que una es la inversa de la otra.

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SOLUCIÓN. Recordemos las operaciones básicas con números complejos (suma y multiplicación), y, en especial, tengamos en cuenta que para calcular las sucesivas potencias de la unidad imaginaria $i$, hay que recordar que: $i=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=i^{2}\cdot i=-i$. Ello, junto con las operaciones de multiplicación de matrices y cálculo del determinante de una matriz cuadradas, es básico para resolver este ejercicio de cálculo con matrices.

Además, hay que tener en cuenta que, para que una matriz tenga matriz inversa, dicha matriz ha de ser regular (no singular), y, por tanto, su determinante ha de ser distinto de cero; que es lo que ocurre tanto con $A$ como con $B$. Puede comprobarse que $\text{det}(A)=2\neq 0$ y $\text{det}(B)=1/2\neq 0$, luego una y otra tienen matriz inversa.

Si dos matrices son mútuamente inversas, como supuestamente ocurre con las dos matrices propuestas, deberá cumplirse que $AB=BA=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$ en es $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ y, efecto, efectuando las multiplicaciones vemos que $$\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1/2&i/2&\dfrac{1-i}{2} \\ i/2&-1/2&\dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&i&1\\ 1&1&i \\ 1&1+i&1+1\end{pmatrix}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

y $$\begin{pmatrix}1&i&1\\ 1&1&i \\ 1&1+i&1+1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1/2&i/2&\dfrac{1-i}{2} \\ i/2&-1/2&\dfrac{1-i}{2}\end{pmatrix}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

de lo cual se sigue que $A=B^{-1}$ y $B=A^{-1}$. $\diamond$