Potencias sucesivas matrices que convergen a la matriz nula

ENUNCIADO. Dada la matriz $D=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$, calcúlense las potencias sucesivas de $D$.

2 ​ 3

SOLUCIÓN. Calculemos $D^2$:

$$D^2=D\,D=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ , y, por tanto, $$D^3=D^2\,D=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ y, al obtener la matriz nula, hemos terminado; esto es $D^n$ es la matriz nula si $n\ge 3$. $\diamond$

-oOo-

Observación: Recordemos, por otra parte, que $D^0=I$ (matriz identidad).