Potencias sucesivas matrices que convergen a la matriz nula

ENUNCIADO. Dada la matriz $D=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$, calcúlense las potencias sucesivas de $D$.

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SOLUCIÓN. Calculemos $D^2$: $$D^2=D\,D=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$, y, por tanto, $$D^3=D^2\,D=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ y, al obtener la matriz nula, hemos terminado; esto es $D^n$ es la matriz nula si $n\ge 3$. $\diamond$

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Observación: Recordemos, por otra parte, que $D^0=I$ (matriz identidad).