Acerca del determinante de una matriz (cuadrada) de tipo triangular

Una propiedad interesante sobre el determinante de una matriz triangular, ya sea ésta superior o bien inferior, es que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Subrayemos el hecho de que si no utilizamos esta propiedad, el cálculo del determinante a partir del algoritmo general puede llevarnos mucho trabajo, cuánto más si el orden de la matriz es mayor que $2$. Notemos que si alguno de los elementos de la diagonal principal es nulo, el determinante es igual cero (no haría falta en tal caso hacer ningún cálculo). Veamos un par de ejemplos:

Ejemplo 1

Calculemos el determinante de la matriz $$A=\begin{pmatrix}2&144&-1&6 \\ 0&3&24&58 \\ 0&0&-5&128 \\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$$ Observemos que se trata de una matriz triangular (triangular superior), entonces, tal y como se ha dicho arriba, basta multiplicar los elementos de la diagonal principal: $$\begin{vmatrix}2&144&-1&6 \\ 0&3&24&58 \\ 0&0&-5&128 \\ 0&0&0&-3 \end{vmatrix} = 2\cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-3) = 90$$

Ejemplo 2

Averigüemos si la siguiente matriz posee inversa $$B=\begin{pmatrix}6&0&0&0 \\ 14&2&0&0 \\ 121&-9&0&0 \\ 1264&6&137&45 \end{pmatrix}$$ Recordemos que una matriz cuadrada posee inversa (y en tal caso es única) si y sólo si es regular, y, por tanto, si y sólo si su determinante es distinto de cero. Observemos que se trata de una matriz triangular (triangular inferior), entonces, al igual que hemos hecho en el ejemplo anterior, para calcular el valor de su determinante basta multiplicar los elementos de la diagonal principal, y como uno de ellos es nulo, no hace falta realizar ninguna operación, pues el valor de dicho determinante ha de ser cero: $$\begin{vmatrix}6&0&0&0 \\ 14&2&0&0 \\ 121&-9&0&0 \\ 1264&6&137&45 \end{vmatrix} = 6\cdot 2 \cdot 0 \cdot 45 = 0$$ En consecuencia, la matriz $B$ no es regular, con lo cual podemos afirmar que no posee matriz inversa.