Un ejercicio de demostración por inducción, y cálculo de la potencia $20$-ésima de una cierta matriz (cuadrada)

ENUNCIADO. Siendo $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$, demuéstrese la siguiente proposición $$\mathcal{P}:\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \text{para} \quad \mathbb{N} \ni n\ge 1$$

Una vez probada la proposición, calcúlese $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}$

SOLUCIÓN. Utilizaremos el métode de demostración por inducción, y por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1. La proposición se cumple para $n=1$; en efecto, $A=A^1\overset{\mathcal{P}(1)}{=}A^n|_{n=1}=\begin{pmatrix}1&1&\dfrac{1^2+1}{2}\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
2. Suponemos que la proposición es cierta para $n$: $\mathcal{P}(n): A^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}$ (hipótesis de inducción)
3. Deberemos probar ahora que la proposición también se cumple para $n+1$: $A^{n+1}=A^n\,A=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&1+n+\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$
   $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{2(n+1)+n(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)\left((n+1)+1\right)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$ $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)^2+(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}$ y por tanto queda demostrada la validez de $\mathcal{P}$ para $n+1$, $\mathcal{P}(n+1)$. $\square$

Entonces, $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}\overset{\mathcal{P}(n=20)}{=}\begin{pmatrix}1&20&\dfrac{20^2+20}{2}\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&20&210\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}$

$\diamond$

Potencia $n$-ésima de la matriz unitaria de orden $3$

ENUNCIADO. Pruébese (demuéstrese) que siendo $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$, entonces $A^n=3^{n-1}\,A$ para $\mathbb{N} \ni n\ge 1$

SOLUCIÓN. Utilizaremos el métode de demostración por inducción, y por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1. La proposición se cumple para $n=2$; en efecto, $A^2=A\,A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3&3\\3&3&3\\3&3&3\end{pmatrix}=3\,A=3^{2-1}\,A$
2. Suponemos que la proposición es cierta par $\mathbb{N} \ni n\ge 1$: $A^n=3^{n-1}\,A$ (hipótesis de inducción)
3. Deberemos probar ahora que también se cumple para $n+1$: $A^{n+1}\overset{\text{?}}{=}3^{(n+1)-1}\,A$, esto es $A^{n+1}\overset{\text{?}}{=}3^{n}\,A$. En efecto, de $A^{n}=3^{n-1}\,A$, y multiplicando por $A$ ambos miembros de la igualdad, se tiene que $A^{n}\,A=A^{N+1}=3^{n-1}\,A\,A=3^{n-1}\,A^2\overset{(1)}{=}3^{n-1}\cdot 3\, A=3^{(n-1)+1}\,A=3^n\,A=3^{(n+1)-1}\,A$

$\diamond$

Ejemplo de demostración por el método de inducción. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1+5+9+\ldots+(4\,n-3)=n\,(2\,n-1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $4\,(n-3)+4$ al primer membre (sumem el valor del terme consecutiu de la successió aritmètica de diferència igual a $4$), obtenint
  $\bigg(1+5+9+\ldots+\big(4\,n-3\big)\bigg)+\big((4\,n-3)+4\big)$
i, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
    $n\,(2\,n-1)+\big((4\,n-3)+4\big)$
expressió que és igual a
    $2\,n^2+3\,n+1$
i, factoritzada (nota), queda
    $(n+1)\,(2\,n+1)$
on reconeixem la reproducció de l'estructura de la propietat $\mathcal{P}$ per a $n+1$
    $(n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)$
i, doncs, queda provada $\mathcal{P}$. Hem acabat.
---------------

Nota:  
Per factoritzar el polinomi $2\,n^2+3\,n+1$ en calculem, primer de tot, les arrels o zeros del polinomi (que són els nombres que l'anul·len) i, per acabar, aplicarem el teorema de factorització.

Resolem, doncs, l'equació $2\,n^2+3\,n+1=0$ per determinar les seves arrels. L'equació és polinòmica de 2n grau, i ja ve expressada en forma completa (o general) $a\,x^2+b\,x+c=0$, amb coeficients: $a=2$, $b=3$ i $c=1$
veiem que el discriminant $\Delta=b^2-4\,a\,c$ que és igual a $3^2-4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$, que és un nombre positiu, i, per tant, veiem que hi ha dos nombres reals (diferents) com a solució, que són els següents:
      $\dfrac{-3\pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-3\pm 1}{4}$
Obtenim, doncs, les següents arrels del polinomi
    $n_1=-\dfrac{1}{2} \quad \text{i} \quad n_2=-1$
llavors, pel teorema de factorització podem escriure
    $2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-n_1\big)\,\big(n-n_2\big)$
és a dir
    $2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-(-\dfrac{1}{2}\big)\,\big(n-(-1)\big)$
        $=2\,\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)\,\big(n+1)\big)$
        $=(n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)$
        $=(n+1)\,\big(2\,n+1\big)$
$\square$