Integrales indefinidas

Resolvamos la siguiente integral indefinida (calculemos la familia de primitivas asociada a la función del integrando): $$\displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx$$ que es un interesante ejercicio para practicar, en este caso, el método de integración de por partes

Observemos que la función integrando, $x\,\ln(x)$, es el producto de dos funciones elementales bien distintas, lo cual nos lleva a decidirno por utilizar la técnica de integración por partes: $$\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$$

Ensayemos la siguiente agrupación, $u:=x$ y $dv:=\ln(x)\,dx$. Entonces, $du=(x)'\,dx = 1\cdot dx=dx$ y $\displaystyle v=\int\,\ln(x)\,dx$; esta integral que nos permitirá conocer $v$, podemos integrarla a su vez empleando también el método de por partes, $\displaystyle \int t\,dw=t\,w-\int\,w\,dt$, mediante la siguiente agrupación: $t:=\ln(x) \therefore dt=(\ln(x))'\,dx=\dfrac{1}{x}\,dx$ y $dw:=dx \therefore w=x$, con lo cual $\displaystyle v=x\,\ln(x)-\int\,x\,\dfrac{1}{x}\,dx+\text{constante}=x\,\ln(x)-x+\text{constante}=x\,(\ln(x)-1)+\text{constante}$, pudiendo elegir cualquier valor para la constante de integración, que es arbitraria, pues nos basta con encontrar una primitiva; pongamos que le asignemos el valor cero, entonces dicha primitiva es $v=x\,(\ln(x)-1)$

Así las cosas, $\displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx=:\int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du=x\,\left(x\,(\ln(x)-1)\right)-\int\,x\,(\ln(x)-1)\,dx=$
  $x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\int\,x\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow$
    $ \Rightarrow 2\,\int\,x\,\ln(x)\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow$
      $ \Rightarrow \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{2}\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{4}\,x^2+C$
y compactando un poco las expresiones, $$ \displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{4}\,\left[2\,(\ln(x)-1)+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-2+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-1\right]+C\,,\,\forall C\in \mathbb{R}$$ siendo $C$ la constante (de valor arbitrario) de integración. $\diamond$