Resolvamos la siguiente integral indefinida (calculemos la familia de primitivas asociada a la función del integrando): \displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx
Observemos que la función integrando, x\,\ln(x), es el producto de dos funciones elementales bien distintas, lo cual nos lleva a decidirno por utilizar la técnica de integración por partes: \displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du
Ensayemos la siguiente agrupación, u:=x y dv:=\ln(x)\,dx. Entonces, du=(x)'\,dx = 1\cdot dx=dx y \displaystyle v=\int\,\ln(x)\,dx; esta integral que nos permitirá conocer v, podemos integrarla a su vez empleando también el método de por partes, \displaystyle \int t\,dw=t\,w-\int\,w\,dt, mediante la siguiente agrupación: t:=\ln(x) \therefore dt=(\ln(x))'\,dx=\dfrac{1}{x}\,dx y dw:=dx \therefore w=x, con lo cual \displaystyle v=x\,\ln(x)-\int\,x\,\dfrac{1}{x}\,dx+\text{constante}=x\,\ln(x)-x+\text{constante}=x\,(\ln(x)-1)+\text{constante}, pudiendo elegir cualquier valor para la constante de integración, que es arbitraria, pues nos basta con encontrar una primitiva; pongamos que le asignemos el valor cero, entonces dicha primitiva es v=x\,(\ln(x)-1)
Así las cosas, \displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx=:\int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du=x\,\left(x\,(\ln(x)-1)\right)-\int\,x\,(\ln(x)-1)\,dx=
x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\int\,x\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow
\Rightarrow 2\,\int\,x\,\ln(x)\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow
\Rightarrow \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{2}\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{4}\,x^2+C
y compactando un poco las expresiones,
\displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{4}\,\left[2\,(\ln(x)-1)+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-2+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-1\right]+C\,,\,\forall C\in \mathbb{R}
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