Cálculo de una integral definida (un ejemplo). Aplicación de la regla de Barrow

Para calcular, a modo de ejemplo, la integral definida $$\displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx\,,\,\text{donde}\,a\lt b$$ necesitamos calcular, en primer lugar, la integral indefinida $$\displaystyle \int\,3^x\,dx$$ esto es, la familida de funciones primitivas $F(x)+C$ (siendo $C$ la constante arbitraria de integración), tales que, por el primer teorema del cálculo integral, cumpla que $\dfrac{d(F(x)+C)}{dx}=f(x)$, siendo $f(x)$ la función del integrando, es decir, $f(x)=3^x$

Veamos, primero, cuál es esa familia de funciones primitivas: $\displaystyle \int\,3^x\,dx\overset{[3=e^{\ln\,3}]}{=} \int\,\left(e^{\ln\,3}\right)^x\,dx=\int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx \overset{(1)}{=}\int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,\dfrac{d(x\,(\ln\,3))}{\ln\,3}=\dfrac{e^{x\,(\ln\,3)}}{\ln\,3} =\dfrac{3^x}{\ln\,3}+C$. Entonces, por el segundo teorema fundamental del cálculo integral (regla de Barrow), y a partir de cualquier función primitiva, por ejemplo $F(x)=\dfrac{3^x}{\ln\,3}$ (tomando, por ejemplo, $C=0$) tenemos que $\displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx\overset{(2)}{=}F(b)-F(a)=\dfrac{3^b}{\ln\,3}-\dfrac{3^a}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\left(3^b-3^a\right)$

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Nota (1):
Este paso, en realidad, es un cambio de variable: $u:=x\,(\ln\,3)$ y por tanto $du=\left( x\,(\ln\,3) \right)'\,dx = (\ln\,3)\cdot 1\,dx = (\ln\,3)\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{du}{\ln\,3}$, con lo cual $\displaystyle \int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx = \int\,e^u\,\dfrac{du}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\,e^u+C=\dfrac{1}{\ln\,3}\,e^{(\ln\,3)\,x}+C=\dfrac{3^x}{\ln\,3}+C$

Nota (2):
Otra manera de notar la aplicación de la regla de Barrow es: $\displaystyle \displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx=\left[ \dfrac{3^x}{\ln\,3} \right]_{a}^{b}=\dfrac{3^b}{\ln\,3}-\dfrac{3^a}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\left(3^b-3^a\right)$

Nota (3):
Podemos aplicar también la regla de Barrow a partir del cambio de variable (véase (1)) realizado y recalculando los nuevos límites de integración: $\displaystyle \int_{a}^{b}\,3^x\,dx=\int_{a}^{b}\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx\overset{(1)}{=}\int_{a\,\ln\,3}^{b\,\ln\,3}\,e^u\,\dfrac{du}{\ln\,3}=\left( \dfrac{e^{b\,\ln\,3}}{\ln\,3}-\dfrac{e^{a\,\ln\,3}}{\ln\,3}\right)=\dfrac{1}{\ln\,3}\,\left( e^{b\,\ln\,3} - e^{a\,\ln\,3}\right)=\dfrac{1}{\ln\,3}\,\left( 3^b-3^a \right)$

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