Primitivas no elementales

Hay integrales indefinidas cuya familia de primitivas no es expresable combinando funciones elementales (polinomicas, exponenciales, trigonométricas, etc.). Si os encontráis con alguna de ellas en un examen de bachillerato —sería sin duda un error de diseño del ejercicio—, por ejemplo, $\displaystyle \int\,e^{-x^2}\,dx$. En tal caso, simplemente tenéis que tener en cuenta lo que acabo de decir, y quedaros ahí, pues la dificultad para resolverlo no corresponde a vuestro nivel de aprendizaje; no es que no se pueda resolver, pues hay que tener bien presente y saber de antemano que cualquier función continua, como en este caso $e^{-x^2}$, ciertamente, es integrable.

Por si alguien tiene curiosidad, os diré que el resultado tiene que ver con una función llamada función error, $\text{erf}(x)$, (relacionada con la probabilidad y la estadística), $\displaystyle \int\,e^{-x^2}\,dx=\dfrac{{\sqrt{\pi}}}{2}\,\text{erf}(x)+C\,,\,\forall\,C \in \mathbb{R}$, pero eso os lo dejo para el curso siguiente, que ya estaréis en la facultad.

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Observación importante:

No obstante lo que acabo de decir, sí que tenéis que saber lo que os voy a comentar a continuación, lo cual, dicho sea de paso, está relacionado con esa función error de la que os acabo de hablar (como veréis en cursos superiores):

Cuando estudiéis la función de distribución de probabilidad de Gauss (en este mismo curso) veréis que el resultado de la integral impropia $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^{2}/2}\,dx$ es igual a $\sqrt{2\,\pi}$, pues al ser $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,e^{-x^{2}/2}$ la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal (gaussiana) de media $\mu=0$ y desviación estándar $\sigma=1$, al integrar en todo el dominio, su resultado ha de ser igual a la probabilidad total, esto es, igual a $1$ $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,e^{-x^{2}/2}\,dx= \dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^{2}/2}\,dx=1 \Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^{2}/2}\,dx=\sqrt{2\,\pi}$$ De ahí se demuestra que $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\,dx= \sqrt{\pi}$$ En efecto, haciendo el cambio de variable $x:=t/\sqrt{2}$, se tiene que $dx=\left( t/\sqrt{2} \right)'\,dx = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,dx$; entonces, como $t \rightarrow -\infty$ cuando $x \rightarrow -\infty$ y $t \rightarrow +\infty$ cuando $x \rightarrow +\infty$, se tiene que $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-t^2\,/2}\,\dfrac{dt}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-t^2\,/2}\,dt=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2\pi}=\sqrt{\pi}.\,\diamond$$