Un recurso de cálculo de 'cajón de sastre' para realizar algunos cálculos aproximados

Un recurso bastante útil en algunas situaciones en las que la base de una función exponencial no es el número $e$ se basa en la siguiente propiedad, que es válida para $\mathbb{R} \ni a\gt 0$:

$$a=e^{\ln\,a}$$ En efecto, sacando logaritmos en base $e$ en cada miembro, $$\ln\,a=\ln\,\left(e^{\ln\,a}\right)=(\ln\,a)\cdot \ln\,e=(\ln\,a)\cdot 1=\ln\,a$$

Así, por ejemplo, para derivar la función $f(x)=a^x$, donde $a\neq e$, la podemos, en primer lugar, reescribir de la forma $f(x)=a^x=\left(e^{\ln\,a}\right)^x=e^{ex\,\ln\,a}$ y, a continuación, aplicar la regla de derivación de la función exponencial de base $e$, además de la regla de la cadena:

$$f'(x)=\left(a^x\right)'=\left(\left(e^{\ln\,a}\right)^x\right)'=\left(e^{(\ln\,a)\,x}\right)'=(\ln\,a)\,e^x$$

Otra interesante utilidad que nos brinda este recurso es el de hacer algunos cálculos aproximados de una manera bastante eficaz, sobre todo si no disponemos de recursos suficientes. Pongamos que deseamos calcular el resultado aproximado de $\sqrt[10]{3}$, y que la única herramienta de que disponemos es un libro de tabls de logaritmos; pues bien, primero, reescribamos convenientemente nuestro problema:

$$\sqrt[10]{3}=3^{\frac{1}{10}}=\left(e^{\ln\,3}\right)^\frac{1}{10}$$ Consultando ahora nuestras tablas de logaritmos, vemos que el valor de $\ln\,3$ con una precisión de hasta la cuerta cifra decimal es $1,0986$, con lo cual $\sqrt[10]{3}=\left(e^{1,0986}\right)^{\frac{1}{10}}=e^{0,10986}$

Finalmente, tengamos en cuenta que, en las proximidades de $x=0$, la función $f(x)=e^x$ es muy parecida a la función $g(x)=1+x$ (basta con desarrollar en serie de Tylor la función $f(x)$ alrededor de $x=0$ y truncarla en el segundo término (de orden $1$), y como, en ese sentido, $0,10986$ es un número razonablemente pequeño (cercano a $0$), podemos hacer la siguiente aproximación $e^{0,10986} \approx 1 + 0,10986 = 1,10986$ de la cual tomaremos, siendo conservadores en nuestra pretensiones, tres cifras significativas, esto es, $e^{0,10986} \approx 1,11$, pudiendose comprobar que las tres son cifras significativas correctas. $\diamond$