Dada una matriz $M$ de tamaño $m \times n$, se denomina pivote (de una cierta fila) al primer elemento distinto de cero de dicha fila. Este concepto es importante a la hora de leer los textos que hablan de la reducción de una matriz, para poder entenderlos bien. Así, por ejemplo, en la siguiente matriz, de tamaño $3 \times 4$, $A=\begin{pmatrix}0&0&2&-1\\ 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\end{pmatrix}$, el pivote de la primera fila es $2$; el de la segunda fila es $4$ y el de la tercera es $8$.
Calculemos el rango de dicha matriz:
Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas no identicamente nulas que quedan tras haber reducido por Gauss (escalonado) dicha matriz. Tengamos en cuenta que el rango de una matriz no se altera al cambiar el orden de las filas; así que, para escalonar una matriz, podemos ordenar las filas de manera que el pivote de la primera esté a la izquierda del de la segunda, y el de la segunda a la izquierda del de la tercera, siguiendo así en el caso de que hubiesen más filas; a continuación, procederíamos a realizar las combinaciones entre filas que permitiesen obtener los ceros por debajo de cada pivote (en las respectivas columnas). En el caso que nos ocupa, no hace falta hacer ninguna combinación entre filas: basta con cambiar la primera fila por la segunda, y, a continuación, la segunda por la tercera, con lo cual vemos que $\text{rango}(A)=\text{rango}\,\begin{pmatrix} 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\\ 0&0&2&-1\end{pmatrix}=3$ ya que, habiendo quedado escalonada la matriz que nos ocupa, el número de filas no identicament nulas es $3$· $\diamond$
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