Matrices con potencias cíclicas

ENUNCIADO. Dada la matriz $C=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, calcúlese la matriz $A^n$, donde $n$ es un número entero no negativo.

SOLUCIÓN. Calculemos $C^2$: $$C^2=CC=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I \quad \text{(matriz identidad)}$$ Entonces, $C^3=C^2\,C=I\,C=C$; $C^4\,C^3\,C=C^2=I$; $C^5=C^4\,C=I\,C=C$, y así sucesivamente (recordemos, también, que $C^0=I$); es decir, se estable un ciclo de potenciación de período $2$, por tanto, para un $n$ genérico se tiene que $C^n=C^r$, donde $r=\text{residuo}(n\div 2)$.

Dicho de otro modo: $$C^n=\left\{\begin{matrix}C & \text{si} & n & \text{es impar} \\ I & \text{si} & n & \text{es par} \end{matrix}\right.$$ $\diamond$