Un ejercicio de demostración por inducción, y cálculo de la potencia $20$-ésima de una cierta matriz (cuadrada)

ENUNCIADO. Siendo $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$, demuéstrese la siguiente proposición

$$\mathcal{P}:\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \text{para} \quad \mathbb{N} \ni n\ge 1$$

Una vez probada la proposición, calcúlese $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}$

SOLUCIÓN. Utilizaremos el métode de demostración por inducción, y por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1. La proposición se cumple para $n=1$; en efecto, $A=A^1\overset{\mathcal{P}(1)}{=}A^n|_{n=1}=\begin{pmatrix}1&1&\dfrac{1^2+1}{2}\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
2. Suponemos que la proposición es cierta para $n$: $\mathcal{P}(n): A^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}$ (hipótesis de inducción)
3. Deberemos probar ahora que la proposición también se cumple para $n+1$: $A^{n+1}=A^n\,A=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&1+n+\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$
   $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{2(n+1)+n(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)\left((n+1)+1\right)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$ $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)^2+(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}$ y por tanto queda demostrada la validez de $\mathcal{P}$ para $n+1$, $\mathcal{P}(n+1)$. $\square$

Entonces, $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}\overset{\mathcal{P}(n=20)}{=}\begin{pmatrix}1&20&\dfrac{20^2+20}{2}\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&20&210\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}$

$\diamond$