El buen manejo de las propiedades de los determinantes facilita la resolución de muchos problemas, que, en un primer vistazo, parencen complicados. Ved, por ejemplo, el siguiente:
Sean $A_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & 1 & &&\\ & 0 & 1 && \\ && \ddots & \ddots && \\& && 0 & 1 \\ & && & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y unos en la segunda diagonal superior, siendo nulos el resto de los elementos) y $B_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & & &&\\ 1 & 0 & && \\ & 1 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ \\ & & & 1 & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y unos en la segunda diagonal inferior, siendo nulos el resto de los elmentos)
Demuéstrese que los determinantes $\text{det}(AB)$ y $\text{det}(BA)$ son ambos nulos.
Recordemos la siguiente propiedad de los determinantes: $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)=\text{det}(B)\cdot \text{det}(A)=\text{det}(BA)$ . Sabemos que el determinante de una matriz triangular, ya sea ésta triangular superior o bien triangular inferior, es igual al producto de los elementos de su diagonal principal; entonces, como $A$ es una matriz triangular superior, y $B$ es una matriz triangular inferior, ambas con ceros en la diagonal principal, se tiene que $\text{det}(A)=0$ y $\text{det}(B)=0$; por consiguiente, y teniendo en cuenta la propiedad referida acerca del determinante del producto de matrices, concluimos que $\text{det}(AB)=0\cdot 0=0$ y $\text{det}(BA)=0\cdot 0=0$. $\diamond$
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