Cálculo de integrales definidas

Calculemos la integral definida $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx$.

Por el primer teorema fundamental del cálculo (TFC1), sabemos que $\displaystyle \int\,f(x)\,dx=F(x)+C$ de tal manera que $(F(x)+C)'=f(x)$. En primer lugar, por tanto, vamos a calcular una función primitiva, $F(x)$, de la familia de primitivas $F(x)+C$ que corresponde a la solución de la integral indefinida $\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, donde en este caso concreto que nos ocupa $f(x)=\dfrac{3}{3+2x}$ es la función integrando; y, finalmente aplicaremos el segundo teorema fundamental del cálculo (TFC2), también conocido como regla de Barrow: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=F(12)-F(6)$, tomando una función cualquiera de la familia de primitivas (eligiendo cualquier valor de la constante de integración $C$).

Cálculo de la familia de primitivas: $I:=\displaystyle \int\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int\,\dfrac{3/3}{3/3+(2/3)\,x}\,dx=\int\,\dfrac{1}{1+(2/3)\,x}\,dx$. Sabemos que $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{t}\,dt=\ln\,t+C$, así que, mediante el cambio de variable $t:=1+(2/3)\,x$ se tiene que $dt=\dfrac{2}{3}\,dx$, luego $dx=\dfrac{3}{2}\,dt$, con lo cual $I=\displaystyle \int\,(3/2)\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,t+C$. Y deshaciendo el cambio de variable, $I=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)+C$. Una función primitiva es, por ejemplo, $F(x):=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)$, donde, por comodidad, hemos elegido arbitrariamente el valor cero para la constante de integración (cualquier otro valor de la constante de integración lleva al mismo resultado de la integral definida).

A continuación, según TFC2, llegamos finalmente a: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\left[\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\right]_{6}^{12}=\displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left( \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 12) - \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 6 \right)=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\left(\dfrac{9}{5}\right)$.

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Nota: De una manera más directa,

$$\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int_{5}^{9}\,\dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{t}\,dt= \displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left[\,\ln\,t\,\right]_{5}^{9}=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\dfrac{9}{5}.\, \diamond$$