Un ejemplo de integral indefinida que puede resolverse empleando la técnica de integración por partes, y aplicando finalmente un cambio de variable

Calcúlese $$\displaystyle \int\,\text{arcsin}(x)\,dx$$

Voy a integrar empleando la técnica de por partes, tomando $u=\text{arcsin}(x)$, y por tanto $du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$; y $dx=dv$, con lo cual $v=x$. Entonces, denotando $I=\displaystyle \int\,\text{arcsin}(x)\,dx$, tenemos: $$\displaystyle I\overset{\text{i. por partes}}{=} \int\,u\,dv=uv-\int\,v\,du=x\,\text{arcsin}(x)-\int\,\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int\,u\,dv=uv-\int\,v\,du=x\cdot \text{arcsin}(x)-J \quad (1)$$ donde $J=\int\,\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$, integral que, mediante el cambio de variable $x=\sin(\theta) \therefore dx=\cos(\theta)\,d\theta$ y $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2\,(\theta)}=\cos(\theta)$, con lo cual $\displaystyle J=\int\,\dfrac{\sin(\theta)\,\cos(\theta)\,d\theta}{\cos(\theta)}=\int\,\sin(\theta)\,d\theta=-\cos(\theta)+C_1=-\sqrt{1-\sin^2(\theta)}+C_1=-\sqrt{1-x^2}+C$. Sustituyendo este resultado en (1), llegamos a $I=x\cdot \text{arcsin}(x)-(-\sqrt{1-x^2})+C=x\cdot \text{arcsin}(x)+\sqrt{1-x^2}+C$ $\diamond$

Cálculo de integrales indefinidas por medio de cambios de variable

Calculemos la integral indefinida $\displaystyle \int\,\ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right)\,dx$, siendo $p,q,r \in \mathbb{R}^+$. Ayuda: Como es sabido por un resultado anterior, aplicando el método de integración por partes, se sugiere utilizar $\int\,\ln(t)\,dt=t\,(\ln(t)-1)+C$.

Transformemos (de manera equivalente) la función del integrando para poder aplicar el resultado conocido: $\displaystyle I:=\int\,\ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right)\,dx= \int\,\ln\,\left( \dfrac{p/p}{q/p+(r/p)\,x} \right)\,dx=\int\,\ln\,\left( \dfrac{1}{q/p+(r/p)\,x} \right)\,dx=$
$=\displaystyle \int\,\left( \ln(1)-\ln\,(q/p+(r/p)\,x) \right)\,dx=\int\,\ln(1)\,dx-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=$
$=\int\,0\,dx-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=0-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx$

Mediante el cambio de variable $t:=\dfrac{q}{p}+\dfrac{r}{p}\,x$ se tiene que $dt=\dfrac{r}{p}\,dx$ y por tanto $dx=\dfrac{p}{r}\,dt$, con lo cual $\displaystyle I=-\int\,\dfrac{p}{r}\,\ln(t)\,dt=-\dfrac{p}{r}\,t\,(\ln(t)-1)+C$; y, deshaciendo el cambio de variable: $$I=-\dfrac{p}{r}\,\left[ \dfrac{q+rx}{p} \, \left( \ln\,\left(\dfrac{q+rx}{p}\right) -1 \right) \right] +C = \dfrac{1}{r}\,(q+r\,x)\,\left[ \ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right) +1 \right]+C\,.\diamond$$