Otro ejercicio sobre potencias sucesivas de matrices cuadradas

ENUNCIADO. Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$, calcúlense las potencias sucesivas de $A$.

SOLUCIÓN. Calculemos las primeras potencias sucesivas:

$$A^2=A\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ y, por tanto, $$A^3=A^2\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ $$A^4=A^3\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ y así sucesivamente; en vista de lo cual, se concluye que $A^n= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$ para todo $n\ge 2$. $\diamond$