Un ejercicio de integración que parece difícil, pero sólo lo parece

(1) Ciertamente hay ejercicios de integración indefinida que, a primera vista, asustan, como por ejemplo, $\displaystyle \int\,x\,e^{ln\,x}\,dx$, pero mirándola bien, no es tan difícil. Veamos la razón de ello:

Teniendo en cuenta que la exponencial y el logaritmo son funciones mútuamente recíprocas, se tiene que $e^{\ln\,x}=x$, luego $\displaystyle \int\,x\,e^{ln\,x}\,dx=\int\,x\cdot x\,dx=\int\,x^2\,dx=\dfrac{1}{3}\,x^3+C.\,\diamond$

(2) Un poco más liosa es la siguiente integral, pero no ofrece muchas dificultades por la misma razón que la apuntada: $\displaystyle \int\,x\,2^{ln\,x}\,dx$

Observemos ahora que si llamamos $t:=2^{\ln\,x}$, sacando logaritmos neperianos en cada miembro, se tiene que $\ln\,t=\ln\,\left(2^{\ln\,x}\right)=\ln\,2 \cdot \ln\,x$, luego $t=e^{\ln\,2 \cdot \ln\,x}=\left( e^{\ln\,x}\right)^{\ln\,2}=\ln\,2\cdot e^{\ln\,x}=x\,\ln\,2$. Por consiguiente, $\displaystyle \int\,x\,2^{ln\,x}\,dx=\int (\ln\,2)\,x \cdot x\,dx=\dfrac{\ln\,2}{3}\,x^3+C.\,\diamond$