Uso del álgebra lineal en un problema de sucesiones numéricas

ENUNCIADO. Considérese la sucesión de números enteros positivos $1,3,6,10,15,\ldots$. Obténgase la fórmula del término general y calcúlese el valor de quincuagésimo término.

SOLUCIÓN. Observemos que la sucesión de las primeras diferencias es $2,3,4,5,\ldots$; y, la de las segundas, $1,2,3,\ldots$. Una sucesión tal como la propuesta es de naturaleza cuadrática en $n$ (índice de los términos de la sucesión), por tanto podemos escribir que el término genérico es $f(n)=a\,n^2+b\,n+c$, donde los coeficientes (a determinar) son números racionales.

Calculemos pues el valor de dichos coeficientes. Para ello, basta tener en cuenta que $f(1)=1=a\cdot 1^2 + b\cdot 1+c$; $f(2)=3=a\cdot 2^2 + b\cdot 2+c$; y $f(3)=6=a\cdot 3^2 + b\cdot 3+c$. Así, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\ 4a+2b+c=3\\ 9a+3b+c=6\end{matrix}\right.$$

En forma matricial, el sistema se escribe $$M\,X=B$$ donde $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1\\3\\6\end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$

En mis materiales encontraréis muchos ejercicios de resolución de un sistema de ecuaciones lineales, paso a paso. En este caso en concreto, no deberíais tener ninguna dificultad para resolverlo sin ayuda de calculadora o de un ordenador; por lo que en este ejercicio vamos a emplear un programa de cálculo numérico, como es GNU OCTAVE [1], para resolverlo de manera automática, que, por razones más que obvias, también es muy conveniente que aprendáis a utilizarlo.

Las instrucciones que hay que escribir son muy sencillas, si bien pueden emplearse instrucciones de GNU Octave que corresponden a varios procedimientos alternativos de álgebra lineal (el enlace lleva a un artículo de otro de mis blogs, que recomiendo que leáis):

  >> M=[1,1,1;4,2,1;9,3,1]
M =

   1   1   1
   4   2   1
   9   3   1

>> B=[1;3;6]
B =

   1
   3
   6

>> X=linsolve(A,B)
A =

   0.5000
   0.5000
        0

  

Entonces, $a=b=1/2$ y $c=0$. Por consiguiente, $f(n)=\dfrac{n^2+n}{2}$; y, por tanto, $f(50)=\dfrac{50^2+50}{2}=1275$. $\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU Octave