Resumen de los resultados de incidencia de planos y rectas en el espacio vectorial afín tridimensional

PLANOS Y RECTAS. RELACIONES DE INCIDENCIA EN EL ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL $E_3$

1. INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS

Sean $\pi_1:\,a_{1}\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1=0$ y $\pi_2:\,a_{2}\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2=0$. Estudiar la incidencia de dichos plano pasa analizar el sistema de ecuaciones, $AX=B$ ( ecuación matricial ), dado por las ecuaciones de sendos planos:
$$\left\{\begin{matrix}
a_{1}\,x&+&b_1\,y&+&c_1\,z&=-&d_1\\
a_{2}\,x&+&b_2\,y&+&c_2\,z&=&-d_2\\
\end{matrix}\right.$$
Del estudio del rango de la matriz de los coeficientes

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
a_1 &b_1 & c_1\\
a_2 &b_2 & c_2 \\
\end{array}\right)$$

y de la matriz ampliada con el vector columna formado por los coeficientes de los términos independientes

$$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
a_1 &b_1 & c_1 & -d_1 \\
a_2 &b_2 & c_2 & -d_2 \\
\end{array}\right)
$$

Entonces, $\pi_1 \cap \pi_2$ da:
$$\left\{\begin{matrix}
\text{una recta ( los planos son secantes )} & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\
\text{el mismo plano ( planos coincidentes )} & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=1 \\
\text{ planos paralelos } & \text{si} & \text{rang}(A)=1 \; \text{y}\;\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\
\end{matrix}\right.$$

1.1 HAZ DE PLANOS
Los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ general una família de planos que denominamos haz de planos ( la denotamos por $\mathcal{F}$ ) y cuya ecuación depende de dos parámetros, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, no simultáneamente nulos:
$$\mathcal{F}:\,\alpha\,(a_1\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1)+\beta\,(a_2\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2)=0$$
Dicho haz puede consistir en:
i) infinitos planos cuya intersección es una recta
ii) infinitos planos paralelos

2. INCIDENCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Sean una recta, $r$, que podemos expresar mediante la intersección de dos planos secantes, $a_{1}\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1=0$ y $a_{2}\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2=0$; y un plano $\pi:\,a_3\,x+b_3\,y+c_3\,z+d_3=0$.

Estudiaremos la incidencia entre este plano, $\pi$, y la recta, $r$, analizando el sistema de ecuaciones de ecuaciones, $AX=B$ ( ecuación matricial ), dado por:
$$\left\{\begin{matrix}
a_{1}\,x&+&b_1\,y&+&c_1\,z&=-&d_1\\
a_{2}\,x&+&b_2\,y&+&c_2\,z&=&-d_2\\
a_{3}\,x&+&b_3\,y&+&c_3\,z&=&-d_3\\
\end{matrix}\right.$$

Del estudio del rango de la matriz de los coeficientes,

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
a_1 &b_1 & c_1\\
a_2 &b_2 & c_2 \\
a_3 &b_3 & c_3 \\
\end{array}\right)$$
y de la matriz ampliada de los coeficientes,
$$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
a_1 &b_1 & c_1 & -d_1 \\
a_2 &b_2 & c_2 & -d_2 \\
a_3 &b_3 & c_3 & -d_3 \\
\end{array}\right)
$$

vemos que
$r \cap \pi$ da:
$$\left\{\begin{matrix}
\text{un punto ( la recta corta al plano ) } & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=3 \\
\text{la propia recta, por contener}\,\pi\,\text{a}\,r\, & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\
\text{ intersección vacía:}\,r \parallel \pi & \text{si} & \text{rang}(A)=2 \; \text{y}\;\text{rang}(\widetilde{A})=3 \\
\end{matrix}\right.$$

3. INCIDENCIA ENTRE DOS RECTAS
Sean dos rectas, que, expresadas en forma vectorial ( dando un punto y un vector ) podemos escribir de la forma, $r:\,X=P+\lambda\,\vec{u}$ y $s:\,X=Q+\lambda\,\vec{v}$.

Podemos estudiar la incidencia mediante el análisis de rangos, de modo que dichas rectas:
$$\left\{\begin{matrix}
\text{ se cruzan pero no se cortan} & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 3 \\
\text{ se cortan } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace
= \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 2 & \\
\text{ son paralelas y distintas } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace
= 1\, \text{y}\, \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 2 & \\
\text{ son coincidentes } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace
= \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 1 & \\
\end{matrix}\right.$$

$\square$

[nota del autor]

Cálculo de primitivas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu la següent integral indefinida
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}$

Solució:
La funció integrand
    $\dfrac{1}{x^2+x}$
és una funció racional, que, havent factoritzat el seu denominador es pot escriure de la forma
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}$
Aquesta funció, doncs, del tipus
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}$
i, per tant, es pot expressar com una suma de fraccions
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduint a comú denominador l'expressió del segon membre, trobem que és igual a
    $\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
operant el numerador queda
    $\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
és a dir
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
i igualant els coeficients dels termes del mateix grau entre ambdós membres de la igualtat obtenim el següent sistema d'equacions
    $\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
i, resolent-lo, trobem
    $m=\dfrac{1}{b-a}$
i
    $n=\dfrac{1}{a-b}$

En aquest cas concret, $b=0$ i $a=1$, per tant trobem $m=1$ i $n=-1$
LLavors
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$
i podrem escriure
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx-\int \dfrac{1}{x+1}\,dx$
que són integrals immediates, és a dir
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|x\right|}-\ln{\left|x+1\right|}+C$
que, per les propietats dels logaritmes, també podem expressar així
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$

Nota:   $C$, que pot ser qualsevol nombre real, és la constant d'integració, o constant arbitrària de la família de funcions primitives de la funció integrand:
    $F(x)=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$


$\square$

[nota del autor]

Cálculo con congruencias

Sean $x,y,n \in \mathbb{Z}$, tales que $\left|x\right| \le \left|n\right|$ e $\left|y\right| \le \left|n\right|$, consideremos, en $\mathbb{Z}$, la siguiente relación de equivalencia:
    $x \,\mathcal{E}\, y \Leftrightarrow \text{resto}(x \div n)=\text{resto}(y \div n)$
que también se puede expresar de otras formas equivalentes
    $x \,\mathcal{E}\, y \Leftrightarrow n | (x-y)$     ( n es divisor de $x-y$ )
    $x \,\mathcal{E}\, y \Leftrightarrow (x-y)=\dot{n}$     ( $x-y$ es un múltiplo de $n$ )
Es sabido que una relación de equivalencia induce en un conjunto ( en $\mathbb{Z}$, en nuestro caso ) una partición en clases de equivalencia. El conjunto de estas clases se denomina conjunto cociente $\mathbb{Z}/\mathcal{E}$. En el caso que nos ocupa, podemos decir que, para un determinado $n \in \mathbb{Z}$, todos los números enteros mayores en valors absoluto que $\left|n\right|$, tales que al dividirlos por $n$, se obtenga resto con valor $r_i$, pertenecen a una misma clase de equivalencia $\left[r_i\right]$ ( donde $i=0,1,2, \ldots, n-1$ y $0 \le r_i \le n-1 $ ).

Designaremos por $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ al conjunto cociente ( conjunto de las clases ) inducido por la relación de equivalencia descrita; también se conoce dicho conjunto cociente como conjunto de las clases de resto módulo $n$. Dichas clases, pues, corresponden a cada uno de los posibles restos, es decir:

    $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\left[0\right]_{n},\left[1\right]_{n},\left[2\right]_{n},\ldots,\left[n-1\right]_{n}\}$

Por lo tanto, dado un determinado número entero $n$ ( módulo ), diremos que un número entero $x$ pertence a la clase de resto   $\left[r_i\right]_{n}$   si y sólo si $\text{resto}(x \div n)=r_i$ ( y recordemos que $0 \le r_i \le n-1 $ con $i=0,1,2,\ldots,n-1$ ).

Así, podemos decir que dos números enteros $x$ e $y$ son congruentes módulo $n$, y se escribe $x \equiv y (n)$, si y sólo si ambos números pertenecen a la misma clase de resto ( se obtiene el mismo resto en las divisiones $x \div n$ e $y \div n$ ).

Hay un par de propiedades bàsicas muy interesantes que dan origen al cálculo con clases de resto ( o cálculo de congruencias ). Son las siguientes.
Dados $a,b,n \in \mathbb{Z}$ tales que $\left|a\right|\le n$ y $\left|b\right|\le n$, y dadas las congruencias ( equivalencias por clases de resto) $a \equiv a^{'} (n)$ y $b \equiv b^{'} (n)$, entonces:
    i) $a + b \equiv a^{'}+b^{'} (n)$
    ii) $a \cdot b \equiv a^{'}\cdot b^{'} (n)$

Una famosa aplicación del cálculo con congruencias es la llamada prueba del nueve, con la que se puede verificar el resultado de las operaciones más costosas realizadas a mano, una multiplicación o de una división, por ejemplo. Se elige el nueve como módulo del cálculo por razones de eficiencia en las propios cálculos de comprobación. Tengamos en cuenta que, antes de la aparición de las máquinas calculadoras, este tipo de pruebas facilitaban la comprobación de largos cálculos. Veamos algún ejemplo, aunque con números no muy grandes, para no cansar al lector.
Nota: En realidad, un resultado satisfactorio en la comprobación de un cálculo no garantiza, de hecho, la absoluta certeza del resultado de éste, puesto que podrían haberse dado errores que se compensaran mutuamente.

1) Caso de una multiplicación:
    $46 \cdot 68 = 3128 \quad \quad (1)$
Comprobación:
$46\equiv 1 (9)$
$68\equiv 5 (9)$
y, de acuerdo con las propiedades,
$46 \cdot 68 \equiv 1 \cdot 5 (9)$
            $\equiv 5 (9)$
y, por otro lado,
    $3128 \equiv 5 (9)$
luego la operación (1) queda comprobada

1) Caso de una división:
    $3468 \div 124 \rightarrow q=27 \quad \quad r=120 \quad \quad (2)$
Comprobación:
$3468\equiv 3 (9)$
$124\equiv 7 (9)$
$27\equiv 0 (9)$
$120\equiv 3 (9)$
Para efectuar la comprobación de los cálculos, vamos a ver si se cumple el teorema de la división euclidiana, operando con las congruencias:
Si
$3468 = 124 \cdot 27 +120$
entonces, con las congruencias, debe cumplirse que
$3 = 7 \cdot 0 + 3$
lo cual es cierto y, por consiguiente, damos por comprobada la operación (2).
$\square$

[nota del autor]

La conjetura de Goldbach. ( Artículo escrito en catalán )

La conjectura Goldbach, així com també altres problemes essencials de la Matemàtica, apareix en la trama argumental d'algunes novel·les i pel·lícules; per exemple, a la novel·la L'oncle Petros i la conjectura de Goldbach, de l'escriptor Apostolos Doxiades; o a la pel·lícula La habitación de Fermat, un thriller dels directors Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña, amb una interpretació que compta amb dos bons actors, Lluis Homar i Santi Millan. És molt recomanable llegir i mirar pel·lícules, visitar les pinacoteques i endinsar-nos també a través de l'art en la Matemàtica (o en el món de la Ciència), perquè, de fet, la Matemàtica no és només un conjunt de definicions, axiomes, i teoremes.

Però, què expressa aquesta famosa conjectura de Goldbach ? La proposició de Goldabach parla dels nombres primers, els quals, talment com una mena de materials essencials de la construcció dels nombres enters, sembla ser que poden expressar qualsevol nombre compost parell/imparell com una simple suma de dos/tres nombres primers.

La conjectura té dues versions, la feble i la forta; i, naturalment, la prova de la versió forta comportaria la demostració de la feble. No s'ha pogut trobar cap contraexemple, ni demostrar encara ni tan sols la versió feble.

La conjectura de Goldbach, aparentment tant innocent, amaga un dels reptes matemàtics més importants de la matemàtica. La conjectura fou formulada pel matemàtic prussià Christian Goldbach (1690-1764). És un dels 23 problemes que, a començament del segle passat, David Hilbert va proposar al Congrés Internacional de Matemàtics de Paris (any 1900) com a objectius rellevants per a la Matemàtica del segle XX que, llavors, estava apunt de començar.

Algunes de les proposicions seleccionades per Hilbert [ http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert ] ja s'han resolt, com ara el gran teorema de Fermat (Adrew Wiles, 1993), o la conjectura de Poincaré (Grigori Perelman, 2003) [aquesta nota és posterior a l'entrada original del blog ]; i altres, continuen sense haver sigut demostrats ni refutats, com ara la conjectura de Godbach, o la hipòtesi de Riemann, els quals han passat a formar part dels grans reptes pendents de la Matemàtica de cara al segle XXI Els problemes del Mil·leni.

Versió feble de la conjectura de Goldbach: Tot nombre imparell més gran que 5 es pot expressar com una suma de tres nombres primers.

Exemples:

• 35=19+13+3
  
• 77053+13+11
  
• ...
  

Versió forta de la conjectura de Goldbach: Tot nombre parell més gran que 2 es pot expressar com una suma de dos nombres primers. Exemples:

• 4=2+2
  
• 6=3+3
  
• 8=5+3
  
• 10=7+3
  
• 12=7+5
  
• 14=11+3
  
• 15=11+5
  
• ...
  

El panorama és encara més inquietant des que, posteriorment, el 1931, el matemàtic Kurt Gödel (1906-1978) va demostrar el següent teorema dit de no completesa: no es pot demostrar la completesa de cap sistema formal no contradictori que sigui suficientment ampli per incloure l'aritmètica només fent ús dels seus propis axiomes, la qual cosa vol dir que hi han proposicions matemàtiques que simplement no es poden validar ni refutar; és a dir, ningú sap si les proposicions seleccionades per Hilbert que encara no s'han demostrat, tenen o no, de fet, solució. Un matemàtic que dediqui la seva trajectòria professional a la demostració d'un d'aquests grans reptes, ha d'enfrontar-se a un gran risc: dedicar bona part dels seu temps i energia a quelcom, potser, impossible, sense garanties, doncs. No obstant això, en Matemàtiques o en qualsevol ciència fonamental, sempre hi han recompenses al treball per a la consecució dels grans reptes. Succeeix com en els grans projectes tecnològics: l'espai, els acceleradors de partícules ... De tot gran projecte o bell somni, s'arribi o no a la fita marcada, se'n desprenen sempre troballes derivats i, clarament, útils. I el més important, s'adquireix coneixement inesperat, s'obren nous camps de recerca, noves fites.

   

d'esquerra a dreta: David Hilbert, i Kurt Gödel (fonts les imatges a Wikipedia)

[nota del autor]

El problema de la aguja de Buffon. ( Artículo escrito en catalán ).

Ejercicio de demostración de pertenencia de un elemento a un conjunto. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donats els conjunts $A$ i $B$, demostreu la següent propietat:
    $ (A \cap B ) \subseteq (A \cup B)$

Solució:
Considerem qualsevol element $x$ del conjunt $A \cap B$, llavors
$\forall x \in (A \cap B) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x \in A \Rightarrow (A \cap B) \subseteq A\\ \vee\\ x\in B \Rightarrow (A \cap B) \subseteq B \end{matrix}\right.\Rightarrow x \in (A \cup B)$
I, com que hem deduït això per a qualsevol element de $A \cap B$, concloem que
$(A \cap B) \subseteq (A \cup B)$
$\square$

[nota del autor]

Consideremos un hilo inextensible que da la vuelta a la Tierra ... ( artículo escrito en catalán )

$\square$

Ejercicio de demostración por inducción. ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\dfrac{1}{6}\,n\,(n+1)\,(2\,n+1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es verifica $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $(n+1)^2$ al primer membre (sumem el quadrat del nombre consecutiu al darrer terme), obtenint
    $\big(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\big)+(n+1)^2$
que, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
    $\dfrac{1}{6}\,n\,(n+1)\,(2\,n+1)+(n+1)^2$
expressió que és igual a
    $\dfrac{1}{6}\,(n+1)\,\big(2\,n^2+7\,n+6\big)$
i que, factoritzada, queda
    $\dfrac{1}{6}\,(n+1)\,(n+2)(2\,n+3)$
per tant es reprodueix la mateixa estructura de l'expressió del 2n membre per a $n+1$; en efecte, per veure-ho ben clar, tan sols cal substituir $n$ per $n+1$ a l'expressió del segon membre, verificant la reproducció de l'estructura de l'expressió:
    $\dfrac{1}{6}\,(n+1)\,\big((n+1)+1\big)\,\big(2\,(n+1)+1\big)$
Llavors, queda provada $\mathcal{P}$.
$\square$

[nota del autor]

Espacio afín euclídeo. Ejercicio de geometría analítica (artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donats els punts de l'espai afí euclidià $\mathbb{R}^3$
    $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$
trobeu un punt $R$ de la recta
    $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
que compleix que: el triangle $\triangle{PQR}$ és isòsceles, essent $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ els costats iguals.

Solució:
Els components d'un vector director de $r$ venen donats pels denominadors dels membres de l'equació en forma contínua, per tant
    $\vec{u}=(2,3,-1)$
Si el triangle $\triangle{PQR}$ és isòsceles i els costats iguals són $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ s'ha de complir que
    $\angle (\vec{u},\vec{RP} )=\pi-\angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \Rightarrow \cos {\big( \angle(\vec{u},\vec{RP})\big)}=-\cos{ \big(\angle(\vec{u},\vec{RQ})\big) }$
per tant, d'acord amb la definició del producte escalar euclidià,
    $\dfrac{ \langle \vec{u},\vec{RP} \rangle }{||\vec{u}||\,||\vec{RP}||}=-\dfrac{ \langle \vec{u},\vec{RQ} \rangle }{||\vec{u}||\,||\vec{RQ}||}$
i atès que
    $||\vec{RP}||=||\vec{RQ}||$
podem escriure
    $ \langle \vec{u},\vec{RP} \rangle =- \langle \vec{u},\vec{RQ} \rangle \quad \quad \quad (*)$
    ====
    Nota:
        $ \langle .\;,\;. \rangle $ designa el produce escalar usual ( expressant els vectors respecte de la base canònica ), així, per exemple $\langle v,w \rangle =v_{x}\,w_{x}+v_{y}\,w_{y}+v_{z}\,w_{z}$
    ====
Llavors, si $R(x_R,y_R,z_R)$, i tenint en compte els vectors de posició, de la relació vectorial
    $\vec{RP}=\vec{OP}-\vec{OR}$ i $\vec{RQ}=\vec{OQ}-\vec{OR}$
podem escriure:
    $\vec{RP}=(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)$
i
    $\vec{RQ}=(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)$

calculant, ara, el valor del producte escalar dels dos membres de (*), trobem:
    $\langle \vec{u},\vec{RP} \rangle =\langle (2,3,-1),(1-x_R,0-y_R,-1-z_R) \rangle$
          $=2\,(1-x_R)-3\,y_R+(1+z_R)$

    $\langle \vec{u},\vec{RQ} \rangle=\langle (2,3,-1),(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)\rangle$
          $=-2\,(1+x_R)+3\,(2-y_R)-(3-z_R)$

simplificant i igualant ambdues expressions arribem a
    $2\,x_R+3\,y_R-z_R=2\quad \quad \quad (1)$

Per altra banda, tenint en compte que $R(x_R,y_R,z_R)$ és un punt de la recta $r$, s'ha de complir la doble igualtat de l'equació en forma contínua de la recta:

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{y_R+4}{3} \quad \quad \quad (2)$

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{z_R-3}{-1} \quad \quad \quad (3)$

Resolent el sistema format per les equacions (1), (2) i (3), trobarem, finalment, les coordenades del punt $R$. El sistema queda,

$\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ x_R & & &+&2\,z_R &=&3\\3\,x_R & -&2\,y_R && &=&-1\\ \end{matrix}\right\}$

i esglaonant-lo pel mètode de Gauss procedim a fer les operacions elementals convenients entre equacions:

fent
    $2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2$
    $3\,e_1-e_e \rightarrow e_3$

obtenim el sistema equivalent

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ & &-3\,y_R&+&5\,z_R&=&4\\ & &13\,y_R &-&3\,z_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

ara, per comoditat, canviem l'ordre de la segona incògnita i de la tercera incògnita:
    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &-3\,z_R &+&13\,y_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

i, per acabar el procés de reducció, fem
    $5\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3$
obtenint el sistema esglaonat

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &&&56\,y_R &=&52\\ \end{matrix}\right\}$

El nombre d'equacions no identicament nul·les del sistema esglaonat és $3$, per tant el nombre d'equacions linealment independents és $3$, que coincideix amb el nombre d'incòngites; llavors, pel teorema de Rouché, el sistema és compatible i determinat ( té solució única ), com calia esperar. Trobem-la:

De la tercera equació s'obté el valor de $y_R$
    $y_R=\dfrac{52}{56}=\dfrac{13}{14}$

Substituint a la segona,
    $z_R=\dfrac{4+3\cdot \frac{13}{14}}{5}=\dfrac{19}{14}$

i posant aquests dos resultats a la primera equació,
    $x_R=\dfrac{2-3\cdot \frac{13}{14}+\frac{19}{14}}{2}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de cálculo de límites ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, n\,\sin\, \dfrac{1}{n}$

Solució:
Passant al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty \cdot 0$, que resoldrem fent el canvi de variable
    $x=\dfrac{1}{n}$
amb la qual cosa si $ n \rightarrow \infty$, llavors $ x \rightarrow 0$
per tant
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, n\,\sin\, \dfrac{1}{n} = \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{1}{x}\,\sin\, x=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin\, x}{x}$
passant al límit arribem ara a una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$
que resoldrem fent ús de la regla de l'Hôpital
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin\, x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(\sin\, x)^{'}}{(x)^{'}}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\cos\, x}{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\cos\, x$
i, finalment, tornant a passar al límit, trobem que el seu valor és igual a $\cos \,0$, que és igual a $1$
és a dir
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, n\,\sin\, \dfrac{1}{n}=1$
$\square$

[nota del autor]

Expresión de una matriz cuadrada como suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la matriu quadrada d'ordre $n=3$
                                $\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}$
expresseu-la com a suma de dues matrius, una simètrica i una d'antisimètrica.

Solució:
En aquest exercici farem servir la matriu transposada $A^{t}$ d'una matriu $A=(a_{ij})$, que es defineix com la matriu que resulta d'intercanviar cada fila d'índex $i$ per la columna del mateix índex, és a dir, $A^t=(a_{ji})$.

Sabem (propietat) que:
    a) per a qualsevol matriu quadrada $A$ d'ordre $n$, la matriu $A+A^{t}$ és una matriu simètrica ( els seus coeficients són tals que $a_{ij}=a_{ji}$ per a tot parell d'índexs $i,j=1,\ldots,n$ )
    b) la matriu $A-A^{t}$ és una matriu antisimètrica ( es pot comprovar que els seus coeficients són tals que $a_{ij}=-a_{ji}$ si $j \neq i$ i $a_{ij}=0$ si $i=j$, per a tot parell d'índexs $i,j=1,\ldots,n$ ).

Per altra banda, és evident que podem escriure $A$ de la següent manera:
    $A=\dfrac{A+A^t}{2}+\dfrac{A-A^t}{2}$
en altres paraules
    $A=S+T$
on $S$ representa la matriu simètrica
    $S=\dfrac{A+A^t}{2}$
i $T$ representa la matriu antisimètrica
    $T=\dfrac{A-A^t}{2}$

Dit això, tan sols ens manca calcular les matrius $S$ i $T$, i, per això, cal calcular la matriu transposada $A^{t}$:
    $A^t=\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}$

Llavors:

    $A+A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}$
      $=\begin{pmatrix}6 &1 &6 \\ 1 &2 &3 \\ 6 &3 &-2 \end{pmatrix}$
que, com podem comprovar, és un m. simètrica.

    $A-A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}$
      $=\begin{pmatrix}0 &-1 &-4 \\ 1 &0 &-1 \\ 4 &1 &0 \end{pmatrix}$
que, com podem comprovar, és un m. antisimètrica.

I, d'aqui, construïm les matrius $S$ (que és simètrica) i $T$ (que és antisimètrica) i que, sumades, donen $A$:

    $S=\dfrac{A+A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}3 &\frac{1}{2} &3 \\ \frac{1}{2} &1 &\frac{3}{2} \\ 3 &\frac{3}{2} &-1 \end{pmatrix}$

    $T=\dfrac{A-A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}0 &-\frac{1}{2} &-2 \\ \frac{1}{2} &0 &-\frac{1}{2} \\ 2 &\frac{1}{2} &0 \end{pmatrix}$

$\square$

[nota del autor]

Matrices ortogonales ... ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sigui la matriu
    $A=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$
  (a) Què significa que la matriu $B$ sigui la matriu inversa de $A$ ?
  (b) Trobeu el valor de $p$ per tal que la matriu inversa de $A$ i la matriu transposada de $A$ coincideixin

Solució:
  (a)
$B=A^{-1}$ si, i només si, $A$ és una matriu regular ( invertible ) i, doncs, si $\det(A)\neq 0$, de tal manera que $B\,A=A\,B=I_3$, on $I_3$ és la matriu identitat d'ordre $3$

  (b)
SOLUCIÓ:
Com que una matriu $A$ es ortogonal si i només si $A\,A^{t}=I=A^{t}\,A$; així, doncs, operant
$A\,A^t=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & p \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$
s'ha d'obtenir la matriu identitat; i, per tant, tenint en compte que l'element de la tercera fila i de la primera columna d'aquesta ha de ser igual a $0$, s'haurà de complir que $\dfrac{p}{\sqrt{2}}-\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}=0$, i per tant, $p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$


RESPOSTA IGUALMENT VÀLIDA ( que va més enllà del que es demana i que té, doncs, caràcter d'ampliació de continguts):
Si $A^t=A^{-1}$, llavors $A$ és una matriu ortogonal, que podem interpretar com la matriu de canvi de base de la base $\mathcal{B}$, formada aquests vectors ortonormals,
    $u_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},0,p)$
    $u_2=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$
    $u_3=(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})$
disposats en columna, a la base canònica, $\mathcal{E}=\lbrace (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \rbrace$
disposats en columnes (i en l'ordre indicat)

Com que aquests vectors ( ortonormals ) son - naturalment - ortogonals, dos a dos, els valors del producte escalar euclidià usual ( respecte de la base canònica i que denotem per $\langle .,. \rangle $ ), són:
    $(i) \quad \langle u_1,u_2 \rangle =0$
    $(i) \quad \langle u_1,u_3 \rangle =0$
    $(iii) \quad \langle u_2,u_3 \rangle =0$

D'acord amb el que s'acaba de dir:
(iii)
es comprova que
        $ \langle u_2,u_3 \rangle=0$
en efecte:
    $ \langle u_2,u_3 \rangle = \langle (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}) \rangle$
        $=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \big(-\frac{2}{\sqrt{6}}\big)+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=2\,\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}}-2\,\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}}=0$

De (i), trobem el valor de $p$:
    $ \langle u_1,u_2 \rangle =\langle (\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}) \rangle =\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{3}}-\dfrac{p}{\sqrt{3}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Nota 2:
Es pot comprovar que, de (ii), s'obté també el valor de $p$; en efecte,
    $ \langle u_1,u_3 \rangle =\langle (\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}) \rangle =\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}}-\dfrac{p}{\sqrt{6}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

-oOo-

Nota 1:
Suposem que les coordenades dels vectors venen referides a la base canònica de l'espai euclidià $(\mathbb{R}^3,\langle .,. \rangle )$ i, per tant, les podem anomenar components dels vectors )

Nota 2:
Es pot comprovar que, de (ii), s'obté també el valor de $p$; en efecte,
    $\langle u_1,u_3\rangle=\langle (\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}) \rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}}-\dfrac{p}{\sqrt{6}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$


$\square$

[nota del autor]

Área de un paralelogramo ( aplicaciones del producto vectorial )

ENUNCIADO:
Los vectores $\vec{OA}=2\,\vec{i}+3\,\vec{j}+\vec{k}$ y $\vec{OC}=\vec{i}+(-1)\,\vec{j}+\vec{k}$ son los vectores de posición del paralelogramo $OABC$, donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$. Calcular el área de dicho paralelogramo.


SOLUCIÓN:
$\text{Área}_{OABC}=\left\| \vec{OA} \times \vec{OB} \right\|$

El producto vectorial $\vec{OA} \times \vec{OB}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2&3 &1 \\
1& -1 &1
\end{vmatrix}=4\,\vec{i}+(-1)\,\vec{j}+(-5)\,\vec{k}$
y el de $\vec{OB} \times \vec{OA}$ es $- \left( \vec{OA} \times \vec{OB} \right) $

En cualquier caso, el módulo de uno u otro es
$$\left| \sqrt{4^2+(-1)^2+(-5)^2} \right|=\left| \sqrt{42}\right|$$
así, pues, $\text{Área}_{OABC}=\left| \sqrt{42} \right| \, \text{unidades de área}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el ángulo que forma los planos ...

ENUNCIADO:
Calcular el ángulo que forma los planos $\pi:\,x+y+z-1=0$ y $\pi_2:\,x-y+x+1=0$

SOLUCIÓN:
$\angle(\pi_1,\pi_2) \equiv \angle(\vec{n_1},\vec{n_2})$, donde $\vec{n_1}=(1,1,1)$ y $\vec{n_2}=(1,-1,1)$ son vectores perpendiculares los respectivos planos ( sus coordenadas vienen dadas por los valores de los coeficientes $A$, $B$ y $C$ de las ecuaciones respectivas, $Ax+By+Cz+D=0$ ).

Así pues, $\angle(\pi_1,\pi_2)=\text{arccos}\left(\dfrac{\langle \vec{n_1},\vec{n_2} \rangle }{\left\|\vec{n_1}\right\|\,\left\|\vec{n_2}\right\|}\right)$

Teniendo en cuenta que el valor del producto escalar de dichos vectores es $\langle \vec{n_1},\vec{n_2} \rangle = \langle (1,1,1),(1,-1,1) \rangle=1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot 1=1$
y que los módulos de estos son
$\left\|\vec{n_1}\right\|=\left| \sqrt{1^2+1^2+1^2}\right| = \left| \sqrt{3} \right|$ y $\left\|\vec{n_2}\right\|=\left| \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right| = \left| \sqrt{3} \right|$
obtenemos
$$\angle(\pi_1,\pi_2)=\text{arccos}(\dfrac{1}{3}) \approx 70^{\circ}\,31'$$

$\square$

[nota del autor]

distancia ( en $\mathbb{R}^3$ ) entre dos puntos

ENUNCIADO:
Calcular la distancia euclídea, en $\mathbb{R}^3$, entre los puntos $P(1,-1,-1)$ y $Q(-1,1,1)$

SOLUCIÓN:
$\text{dist}(P,Q)=\left\| \vec{PQ} \right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2} \right|$
y, con los datos, obtenemos
$\text{dist}(P,Q)= \left| \sqrt{(-1-1)^2+(1-(-1))^2+(1-(-1))^2} \right|= \left| \sqrt{(-2)^2+2^2+2^2} \right|$
        $=2\,\left|\sqrt{3}\right|\,\text{unidades de longitud}$
$\square$

[nota del autor]

Haz de planos paralelos

ENUNCIADO:
Sea el plano $\pi:\,x+2y+3z-1=0$. ¿ Cual es la ecuación del haz de planos paralelos a dicho plano ?.

SOLUCIÓN:
Como un vector perpendicular a cualquier plano del haz viene dado por $\vec{n}=(1,2,3)$ ya que sus coordenadas/componentes, $(A,B,C)$, corresponden a los valores de los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax+By+Cz+D=0$ ), la ecuación del haz de planos paralelos vendrá dada por $\mathcal{F}:Ax+By+Cz+\mu=0$, para cualquier $\mu \in \mathbb{R}$.

Así, pues, el haz pedido es:
$$\mathcal{F}:x+2y+3z+\mu=0\,,\,\text{para todo}\, \mu \in \mathbb{R}$$

$\square$

[nota del autor]

Ecuación del haz de planos que da como intersección una determinada recta

ENUNCIADO:
Sea la recta $r:\,(x,y,z)=(1,-1,1)+\lambda\,(1,2,3)$ de $\mathbb{R}^3$ ( expresada en forma paramétrica, de parámetro $\lambda$ ). ¿ Cuál es la ecuación del haz de planos tal que la recta dada es su intersección ?.

SOLUCIÓN:
Expresando $r$ en forma paramétrica,
$$\left\{\begin{matrix}
x-1 & = & \lambda \\
\\
\dfrac{y-(-1)}{2} & = & \lambda \\
\\
\dfrac{z-1}{3} & = & \lambda
\end{matrix}\right.$$

y, de ahí, podemos escribir la ecuación de la recta en forma continua
$$x-1=\dfrac{y-(-1)}{2}=\dfrac{z-1}{3}$$

por tanto, las ecuaciones implícitas de dicha recta son
$$\left\{\begin{matrix}
x-1 & = & \dfrac{y+1}{2} \\
\\
x-1 & = & \dfrac{z-1}{3} \\
\end{matrix}\right.$$

es decir
$$\left\{\begin{matrix}
2x &-&y&-&3&=&0 \\
\\
3x &-&z&-&2&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$

que son las ecuaciones de dos de los planos, $\pi_1$ y $\pi_2$, del hay de planos. Con lo cual, para cualesquiera $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ( no simultáneamente nulos ), podemos escribir la ecuación del haz de planos pedido de la forma:
$$\mathcal{F}:\alpha ( 2x-y-3 ) + \beta ( 3x -z - 2) = 0$$

$\square$


OBSERVACIÓN:
En general, dados dos de los planos del haz, $\pi_1: Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi_2:A'x+B'z+C'z+D'=0$, entonces $\mathcal{F}:\alpha\,(Ax+By+Cz+D) + \beta\,(A'x+B'z+C'z+D')=0$, siendo $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ( no simultáneamente nulos ).

$\lozenge$

[nota del autor]

Volumen de un paralelepípedo dado por los vectores ...

ENUNCIADO:
Sean los puntos de $\mathbb{R}^3$: $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(1,1,1)$. Calcular el volumen del paralelepípedo que forman los vectores: $\vec{a}$, dado por $\vec{OA}=(3,0,0)$; $\vec{b}$, dado por $\vec{OB}=(0,2,0)$, y $\vec{c}$, dado por $\vec{OC}=(1,1,1)$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas.

SOLUCIÓN:
El área, $\mathcal{A}$, del paralelogramo ( de la base del paralelepípedo ), dado por los vectores $\vec{a}$ y $vec{b}$ ( recordemos que tienen origen común en $O$ ) viene dada por $\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|$, siendo
$$ \vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3& 0 &0 \\
0& 2 &0
\end{vmatrix}=6\,\vec{k}$$
donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(1,0,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Así, pues, $\mathcal{A}=\left\|6\,\vec{k}\right\|=6 \, \text{unidades de área}$

Para calcular el volumen ( del paralelepípedo ) debemos multiplicar dicha área por la altura del paralelepípedo, y ésta es igual al módulo del vector proyección del vector $\vec{c}$ sobre el vector unitario $\vec{u}$ ( perpendicular al plano que contiene los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ ):

$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|$$
siendo $\vec{u}=\dfrac{ \vec{a} \times \vec{b} } { \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}$ que, en este caso, es igual a $\vec{k}=(0,0,1)$

con lo cual
$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=\langle ( 1,1,1),(0,0,1) \rangle=1$$

Por consiguiente,
$$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=6 \cdot 1 = 6 \, \text{unidades de volumen} $$

$\square$

OBSERVACIÓN:
También se puede calcular el volumen, $\mathcal{V}$, directamente, del siguiente modo.

Como $$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\| = \displaystyle \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\| \, \langle \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}, \vec{c} \rangle = \langle \vec{a} \times \vec{b}, \vec{c} \rangle$$
expresión conocida como producto mixto, y que viene dada por el valor del siguiente determinante
$$\begin{vmatrix}
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix}$$
así, en nuestro caso, con los datos del problema
$$\mathcal{V}=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{vmatrix}=1\cdot \begin{vmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{vmatrix}=1 \cdot 6 = 6\, \text{unidades de volumen}$$
$\square$

[nota del autor]

Distancia ( en el espacio ) de un punto a una recta

ENUNCIADO:
Calcular la distancia del punto $P(1,1,1)$ a la recta $r:(x,y,z)=\lambda\,(0,1,0)+(1,-1,0)$ ( en forma paramétrica, de parámetro $\lambda$ ).

SOLUCIÓN:

Sea $\vec{u}$ un vector de la recta, por ejemplo, $\vec{u}=(0,1,0)$, y consideremos un punto sobre la recta $r$, por ejemplo $P_{r}(1,-1,0)$; entonces, podemos formar el triángulo vectorial $\vec{d}+\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)=\overset{\rightarrow}{P_{r}P}$, donde $\vec{d} \perp \vec{u}$

Así, $\text{dist}(P,r)=\left\|\vec{d}\right\|$

Calculamos, primero $\vec{d}$, haciendo $\vec{d}=\overset{\rightarrow}{P_{r}P}-\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)$

para ello, debemos calcular el vector que resulta de la proyección:
$\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)=\langle \overset{\rightarrow}{P_{r}P}, \vec{d} \rangle \, \dfrac{\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|}$
                                $=\langle (0,2,1),(0,1,0)\rangle \, \dfrac{(0,1,0)}{1}=2\,(0,1,0)=(0,2,0)$

por tanto, $\vec{d}=(0,2,1)-(0,2,0)=(0,0,1)$

con lo cual $\left\|\vec{d}\right\|=1$, que es la distancia pedida.

$\square$

[nota del autor]

Distancia de un punto a un plano

ENUNCIADO:
Sea el plano $\pi:x-y+z+2=0$ y el punto $P(1,1,1)$. Calcular la distancia del punto $P$ al plano $\pi$

SOLUCIÓN:
La distancia de un punto $P(x_P,y_P,z_P)$ a un plano $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ viene dado por
$$d(P,\pi)=\left|\dfrac{Ax_P+By_P+Cy_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$$
Poniendo los datos del problema: $A=1$, $B=-1$, $C=1$, $D=2$; $x_P=1$, $y_P=1$,$z_P=1$, encontramos
$$d(P,\pi)=\left|\dfrac{1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 1+2}{ \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\right|=\dfrac{3}{\left|\sqrt{3}\right|}=\left|\sqrt{3}\right| \, \text{unidades de longitud}$$
$\square$

[nota del autor]