Volumen de un paralelepípedo dado por los vectores ...

ENUNCIADO:
Sean los puntos de $\mathbb{R}^3$: $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(1,1,1)$. Calcular el volumen del paralelepípedo que forman los vectores: $\vec{a}$, dado por $\vec{OA}=(3,0,0)$; $\vec{b}$, dado por $\vec{OB}=(0,2,0)$, y $\vec{c}$, dado por $\vec{OC}=(1,1,1)$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas.

SOLUCIÓN:
El área, $\mathcal{A}$, del paralelogramo ( de la base del paralelepípedo ), dado por los vectores $\vec{a}$ y $vec{b}$ ( recordemos que tienen origen común en $O$ ) viene dada por $\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|$, siendo
$$ \vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3& 0 &0 \\
0& 2 &0
\end{vmatrix}=6\,\vec{k}$$
donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(1,0,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Así, pues, $\mathcal{A}=\left\|6\,\vec{k}\right\|=6 \, \text{unidades de área}$

Para calcular el volumen ( del paralelepípedo ) debemos multiplicar dicha área por la altura del paralelepípedo, y ésta es igual al módulo del vector proyección del vector $\vec{c}$ sobre el vector unitario $\vec{u}$ ( perpendicular al plano que contiene los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ ):

$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|$$
siendo $\vec{u}=\dfrac{ \vec{a} \times \vec{b} } { \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}$ que, en este caso, es igual a $\vec{k}=(0,0,1)$

con lo cual
$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=\langle ( 1,1,1),(0,0,1) \rangle=1$$

Por consiguiente,
$$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=6 \cdot 1 = 6 \, \text{unidades de volumen} $$

$\square$

OBSERVACIÓN:
También se puede calcular el volumen, $\mathcal{V}$, directamente, del siguiente modo.

Como $$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\| = \displaystyle \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\| \, \langle \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}, \vec{c} \rangle = \langle \vec{a} \times \vec{b}, \vec{c} \rangle$$
expresión conocida como producto mixto, y que viene dada por el valor del siguiente determinante
$$\begin{vmatrix}
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix}$$
así, en nuestro caso, con los datos del problema
$$\mathcal{V}=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{vmatrix}=1\cdot \begin{vmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{vmatrix}=1 \cdot 6 = 6\, \text{unidades de volumen}$$
$\square$

[nota del autor]