Resumen de los resultados de incidencia de planos y rectas en el espacio vectorial afín tridimensional

PLANOS Y RECTAS. RELACIONES DE INCIDENCIA EN EL ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL $E_3$

1. INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS

Sean $\pi_1:\,a_{1}\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1=0$ y $\pi_2:\,a_{2}\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2=0$. Estudiar la incidencia de dichos plano pasa analizar el sistema de ecuaciones, $AX=B$ ( ecuación matricial ), dado por las ecuaciones de sendos planos:
$$\left\{\begin{matrix}
a_{1}\,x&+&b_1\,y&+&c_1\,z&=-&d_1\\
a_{2}\,x&+&b_2\,y&+&c_2\,z&=&-d_2\\
\end{matrix}\right.$$
Del estudio del rango de la matriz de los coeficientes

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
a_1 &b_1 & c_1\\
a_2 &b_2 & c_2 \\
\end{array}\right)$$

y de la matriz ampliada con el vector columna formado por los coeficientes de los términos independientes

$$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
a_1 &b_1 & c_1 & -d_1 \\
a_2 &b_2 & c_2 & -d_2 \\
\end{array}\right)
$$

Entonces, $\pi_1 \cap \pi_2$ da:
$$\left\{\begin{matrix}
\text{una recta ( los planos son secantes )} & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\
\text{el mismo plano ( planos coincidentes )} & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=1 \\
\text{ planos paralelos } & \text{si} & \text{rang}(A)=1 \; \text{y}\;\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\
\end{matrix}\right.$$

1.1 HAZ DE PLANOS
Los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ general una família de planos que denominamos haz de planos ( la denotamos por $\mathcal{F}$ ) y cuya ecuación depende de dos parámetros, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, no simultáneamente nulos:
$$\mathcal{F}:\,\alpha\,(a_1\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1)+\beta\,(a_2\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2)=0$$
Dicho haz puede consistir en:
i) infinitos planos cuya intersección es una recta
ii) infinitos planos paralelos

2. INCIDENCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Sean una recta, $r$, que podemos expresar mediante la intersección de dos planos secantes, $a_{1}\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1=0$ y $a_{2}\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2=0$; y un plano $\pi:\,a_3\,x+b_3\,y+c_3\,z+d_3=0$.

Estudiaremos la incidencia entre este plano, $\pi$, y la recta, $r$, analizando el sistema de ecuaciones de ecuaciones, $AX=B$ ( ecuación matricial ), dado por:
$$\left\{\begin{matrix}
a_{1}\,x&+&b_1\,y&+&c_1\,z&=-&d_1\\
a_{2}\,x&+&b_2\,y&+&c_2\,z&=&-d_2\\
a_{3}\,x&+&b_3\,y&+&c_3\,z&=&-d_3\\
\end{matrix}\right.$$

Del estudio del rango de la matriz de los coeficientes,

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
a_1 &b_1 & c_1\\
a_2 &b_2 & c_2 \\
a_3 &b_3 & c_3 \\
\end{array}\right)$$
y de la matriz ampliada de los coeficientes,
$$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
a_1 &b_1 & c_1 & -d_1 \\
a_2 &b_2 & c_2 & -d_2 \\
a_3 &b_3 & c_3 & -d_3 \\
\end{array}\right)
$$

vemos que
$r \cap \pi$ da:
$$\left\{\begin{matrix}
\text{un punto ( la recta corta al plano ) } & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=3 \\
\text{la propia recta, por contener}\,\pi\,\text{a}\,r\, & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\
\text{ intersección vacía:}\,r \parallel \pi & \text{si} & \text{rang}(A)=2 \; \text{y}\;\text{rang}(\widetilde{A})=3 \\
\end{matrix}\right.$$

3. INCIDENCIA ENTRE DOS RECTAS
Sean dos rectas, que, expresadas en forma vectorial ( dando un punto y un vector ) podemos escribir de la forma, $r:\,X=P+\lambda\,\vec{u}$ y $s:\,X=Q+\lambda\,\vec{v}$.

Podemos estudiar la incidencia mediante el análisis de rangos, de modo que dichas rectas:
$$\left\{\begin{matrix}
\text{ se cruzan pero no se cortan} & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 3 \\
\text{ se cortan } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace
= \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 2 & \\
\text{ son paralelas y distintas } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace
= 1\, \text{y}\, \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 2 & \\
\text{ son coincidentes } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace
= \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 1 & \\
\end{matrix}\right.$$

$\square$

[nota del autor]