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miércoles, 25 de marzo de 2015

Resumen de los resultados de incidencia de planos y rectas en el espacio vectorial afín tridimensional

PLANOS Y RECTAS. RELACIONES DE INCIDENCIA EN EL ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL E_3

1. INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS

Sean \pi_1:\,a_{1}\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1=0 y \pi_2:\,a_{2}\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2=0. Estudiar la incidencia de dichos plano pasa analizar el sistema de ecuaciones, AX=B ( ecuación matricial ), dado por las ecuaciones de sendos planos:
\left\{\begin{matrix} a_{1}\,x&+&b_1\,y&+&c_1\,z&=-&d_1\\ a_{2}\,x&+&b_2\,y&+&c_2\,z&=&-d_2\\ \end{matrix}\right.

Del estudio del rango de la matriz de los coeficientes

A=\left(\begin{array}{ccc} a_1 &b_1 & c_1\\ a_2 &b_2 & c_2 \\ \end{array}\right)


y de la matriz ampliada con el vector columna formado por los coeficientes de los términos independientes

\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c} a_1 &b_1 & c_1 & -d_1 \\ a_2 &b_2 & c_2 & -d_2 \\ \end{array}\right)


Entonces, \pi_1 \cap \pi_2 da:
\left\{\begin{matrix} \text{una recta ( los planos son secantes )} & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\ \text{el mismo plano ( planos coincidentes )} & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=1 \\ \text{ planos paralelos } & \text{si} & \text{rang}(A)=1 \; \text{y}\;\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\ \end{matrix}\right.


1.1 HAZ DE PLANOS
Los planos \pi_1 y \pi_2 general una família de planos que denominamos haz de planos ( la denotamos por \mathcal{F} ) y cuya ecuación depende de dos parámetros, \alpha, \beta \in \mathbb{R}, no simultáneamente nulos:
\mathcal{F}:\,\alpha\,(a_1\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1)+\beta\,(a_2\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2)=0

Dicho haz puede consistir en:
i) infinitos planos cuya intersección es una recta
ii) infinitos planos paralelos

2. INCIDENCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Sean una recta, r, que podemos expresar mediante la intersección de dos planos secantes, a_{1}\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1=0 y a_{2}\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2=0; y un plano \pi:\,a_3\,x+b_3\,y+c_3\,z+d_3=0.

Estudiaremos la incidencia entre este plano, \pi, y la recta, r, analizando el sistema de ecuaciones de ecuaciones, AX=B ( ecuación matricial ), dado por:
\left\{\begin{matrix} a_{1}\,x&+&b_1\,y&+&c_1\,z&=-&d_1\\ a_{2}\,x&+&b_2\,y&+&c_2\,z&=&-d_2\\ a_{3}\,x&+&b_3\,y&+&c_3\,z&=&-d_3\\ \end{matrix}\right.


Del estudio del rango de la matriz de los coeficientes,

A=\left(\begin{array}{ccc} a_1 &b_1 & c_1\\ a_2 &b_2 & c_2 \\ a_3 &b_3 & c_3 \\ \end{array}\right)

y de la matriz ampliada de los coeficientes,
\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c} a_1 &b_1 & c_1 & -d_1 \\ a_2 &b_2 & c_2 & -d_2 \\ a_3 &b_3 & c_3 & -d_3 \\ \end{array}\right)


vemos que
r \cap \pi da:
\left\{\begin{matrix} \text{un punto ( la recta corta al plano ) } & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=3 \\ \text{la propia recta, por contener}\,\pi\,\text{a}\,r\, & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\ \text{ intersección vacía:}\,r \parallel \pi & \text{si} & \text{rang}(A)=2 \; \text{y}\;\text{rang}(\widetilde{A})=3 \\ \end{matrix}\right.


3. INCIDENCIA ENTRE DOS RECTAS
Sean dos rectas, que, expresadas en forma vectorial ( dando un punto y un vector ) podemos escribir de la forma, r:\,X=P+\lambda\,\vec{u} y s:\,X=Q+\lambda\,\vec{v}.

Podemos estudiar la incidencia mediante el análisis de rangos, de modo que dichas rectas:
\left\{\begin{matrix} \text{ se cruzan pero no se cortan} & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 3 \\ \text{ se cortan } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace = \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 2 & \\ \text{ son paralelas y distintas } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace = 1\, \text{y}\, \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 2 & \\ \text{ son coincidentes } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace = \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 1 & \\ \end{matrix}\right.


\square

[nota del autor]

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