Espacio afín euclídeo. Ejercicio de geometría analítica (artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donats els punts de l'espai afí euclidià $\mathbb{R}^3$
    $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$
trobeu un punt $R$ de la recta
    $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
que compleix que: el triangle $\triangle{PQR}$ és isòsceles, essent $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ els costats iguals.

Solució:
Els components d'un vector director de $r$ venen donats pels denominadors dels membres de l'equació en forma contínua, per tant
    $\vec{u}=(2,3,-1)$
Si el triangle $\triangle{PQR}$ és isòsceles i els costats iguals són $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ s'ha de complir que
    $\angle (\vec{u},\vec{RP} )=\pi-\angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \Rightarrow \cos {\big( \angle(\vec{u},\vec{RP})\big)}=-\cos{ \big(\angle(\vec{u},\vec{RQ})\big) }$
per tant, d'acord amb la definició del producte escalar euclidià,
    $\dfrac{ \langle \vec{u},\vec{RP} \rangle }{||\vec{u}||\,||\vec{RP}||}=-\dfrac{ \langle \vec{u},\vec{RQ} \rangle }{||\vec{u}||\,||\vec{RQ}||}$
i atès que
    $||\vec{RP}||=||\vec{RQ}||$
podem escriure
    $\langle \vec{u},\vec{RP} \rangle =- \langle \vec{u},\vec{RQ} \rangle \quad \quad \quad (*)$
    ====
    Nota:
        $\langle .\;,\;. \rangle$ designa el produce escalar usual ( expressant els vectors respecte de la base canònica ), així, per exemple $\langle v,w \rangle =v_{x}\,w_{x}+v_{y}\,w_{y}+v_{z}\,w_{z}$
    ====
Llavors, si $R(x_R,y_R,z_R)$, i tenint en compte els vectors de posició, de la relació vectorial
    $\vec{RP}=\vec{OP}-\vec{OR}$ i $\vec{RQ}=\vec{OQ}-\vec{OR}$
podem escriure:
    $\vec{RP}=(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)$
i
    $\vec{RQ}=(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)$

calculant, ara, el valor del producte escalar dels dos membres de (*), trobem:
    $\langle \vec{u},\vec{RP} \rangle =\langle (2,3,-1),(1-x_R,0-y_R,-1-z_R) \rangle$
          $=2\,(1-x_R)-3\,y_R+(1+z_R)$

    $\langle \vec{u},\vec{RQ} \rangle=\langle (2,3,-1),(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)\rangle$
          $=-2\,(1+x_R)+3\,(2-y_R)-(3-z_R)$

simplificant i igualant ambdues expressions arribem a
    $2\,x_R+3\,y_R-z_R=2\quad \quad \quad (1)$

Per altra banda, tenint en compte que $R(x_R,y_R,z_R)$ és un punt de la recta $r$, s'ha de complir la doble igualtat de l'equació en forma contínua de la recta:

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{y_R+4}{3} \quad \quad \quad (2)$

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{z_R-3}{-1} \quad \quad \quad (3)$

Resolent el sistema format per les equacions (1), (2) i (3), trobarem, finalment, les coordenades del punt $R$. El sistema queda,

$\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ x_R & & &+&2\,z_R &=&3\\3\,x_R & -&2\,y_R && &=&-1\\ \end{matrix}\right\}$

i esglaonant-lo pel mètode de Gauss procedim a fer les operacions elementals convenients entre equacions:

fent
    $2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2$
    $3\,e_1-e_e \rightarrow e_3$

obtenim el sistema equivalent

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ & &-3\,y_R&+&5\,z_R&=&4\\ & &13\,y_R &-&3\,z_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

ara, per comoditat, canviem l'ordre de la segona incògnita i de la tercera incògnita:
    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &-3\,z_R &+&13\,y_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

i, per acabar el procés de reducció, fem
    $5\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3$
obtenint el sistema esglaonat

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &&&56\,y_R &=&52\\ \end{matrix}\right\}$

El nombre d'equacions no identicament nul·les del sistema esglaonat és $3$, per tant el nombre d'equacions linealment independents és $3$, que coincideix amb el nombre d'incòngites; llavors, pel teorema de Rouché, el sistema és compatible i determinat ( té solució única ), com calia esperar. Trobem-la:

De la tercera equació s'obté el valor de $y_R$
    $y_R=\dfrac{52}{56}=\dfrac{13}{14}$

Substituint a la segona,
    $z_R=\dfrac{4+3\cdot \frac{13}{14}}{5}=\dfrac{19}{14}$

i posant aquests dos resultats a la primera equació,
    $x_R=\dfrac{2-3\cdot \frac{13}{14}+\frac{19}{14}}{2}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]