Ejercicio de cálculo de límites ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, n\,\sin\, \dfrac{1}{n}$

Solució:
Passant al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty \cdot 0$, que resoldrem fent el canvi de variable
    $x=\dfrac{1}{n}$
amb la qual cosa si $n \rightarrow \infty$, llavors $x \rightarrow 0$
per tant
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, n\,\sin\, \dfrac{1}{n} = \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{1}{x}\,\sin\, x=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin\, x}{x}$
passant al límit arribem ara a una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$
que resoldrem fent ús de la regla de l'Hôpital
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin\, x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(\sin\, x)^{'}}{(x)^{'}}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\cos\, x}{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\cos\, x$
i, finalment, tornant a passar al límit, trobem que el seu valor és igual a $\cos \,0$, que és igual a $1$
és a dir
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, n\,\sin\, \dfrac{1}{n}=1$
$\square$

[nota del autor]