Enunciat:
Donada la matriu quadrada d'ordre n=3
\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}
expresseu-la com a suma de dues matrius, una simètrica i una d'antisimètrica.
Solució:
En aquest exercici farem servir la matriu transposada A^{t} d'una matriu A=(a_{ij}), que es defineix com la matriu que resulta d'intercanviar cada fila d'índex i per la columna del mateix índex, és a dir, A^t=(a_{ji}).
Sabem (propietat) que:
a) per a qualsevol matriu quadrada A d'ordre n, la matriu A+A^{t} és una matriu simètrica ( els seus coeficients són tals que a_{ij}=a_{ji} per a tot parell d'índexs i,j=1,\ldots,n )
b) la matriu A-A^{t} és una matriu antisimètrica ( es pot comprovar que els seus coeficients són tals que a_{ij}=-a_{ji} si j \neq i i a_{ij}=0 si i=j, per a tot parell d'índexs i,j=1,\ldots,n ).
Per altra banda, és evident que podem escriure A de la següent manera:
A=\dfrac{A+A^t}{2}+\dfrac{A-A^t}{2}
en altres paraules
A=S+T
on S representa la matriu simètrica
S=\dfrac{A+A^t}{2}
i T representa la matriu antisimètrica
T=\dfrac{A-A^t}{2}
Dit això, tan sols ens manca calcular les matrius S i T, i, per això, cal calcular la matriu transposada A^{t}:
A^t=\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}
Llavors:
A+A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}6 &1 &6 \\ 1 &2 &3 \\ 6 &3 &-2 \end{pmatrix}
que, com podem comprovar, és un m. simètrica.
A-A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0 &-1 &-4 \\ 1 &0 &-1 \\ 4 &1 &0 \end{pmatrix}
que, com podem comprovar, és un m. antisimètrica.
I, d'aqui, construïm les matrius S (que és simètrica) i T (que és antisimètrica) i que, sumades, donen A:
S=\dfrac{A+A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}3 &\frac{1}{2} &3 \\ \frac{1}{2} &1 &\frac{3}{2} \\ 3 &\frac{3}{2} &-1 \end{pmatrix}
T=\dfrac{A-A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}0 &-\frac{1}{2} &-2 \\ \frac{1}{2} &0 &-\frac{1}{2} \\ 2 &\frac{1}{2} &0 \end{pmatrix}
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios