Processing math: 100%

martes, 17 de marzo de 2015

Expresión de una matriz cuadrada como suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la matriu quadrada d'ordre n=3
                                \begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}
expresseu-la com a suma de dues matrius, una simètrica i una d'antisimètrica.

Solució:
En aquest exercici farem servir la matriu transposada A^{t} d'una matriu A=(a_{ij}), que es defineix com la matriu que resulta d'intercanviar cada fila d'índex i per la columna del mateix índex, és a dir, A^t=(a_{ji}).

Sabem (propietat) que:
    a) per a qualsevol matriu quadrada A d'ordre n, la matriu A+A^{t} és una matriu simètrica ( els seus coeficients són tals que a_{ij}=a_{ji} per a tot parell d'índexs i,j=1,\ldots,n )
    b) la matriu A-A^{t} és una matriu antisimètrica ( es pot comprovar que els seus coeficients són tals que a_{ij}=-a_{ji} si j \neq i i a_{ij}=0 si i=j, per a tot parell d'índexs i,j=1,\ldots,n ).

Per altra banda, és evident que podem escriure A de la següent manera:
    A=\dfrac{A+A^t}{2}+\dfrac{A-A^t}{2}
en altres paraules
    A=S+T
on S representa la matriu simètrica
    S=\dfrac{A+A^t}{2}
i T representa la matriu antisimètrica
    T=\dfrac{A-A^t}{2}

Dit això, tan sols ens manca calcular les matrius S i T, i, per això, cal calcular la matriu transposada A^{t}:
    A^t=\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}

Llavors:

    A+A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}
      =\begin{pmatrix}6 &1 &6 \\ 1 &2 &3 \\ 6 &3 &-2 \end{pmatrix}
que, com podem comprovar, és un m. simètrica.

    A-A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}
      =\begin{pmatrix}0 &-1 &-4 \\ 1 &0 &-1 \\ 4 &1 &0 \end{pmatrix}
que, com podem comprovar, és un m. antisimètrica.

I, d'aqui, construïm les matrius S (que és simètrica) i T (que és antisimètrica) i que, sumades, donen A:

    S=\dfrac{A+A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}3 &\frac{1}{2} &3 \\ \frac{1}{2} &1 &\frac{3}{2} \\ 3 &\frac{3}{2} &-1 \end{pmatrix}

    T=\dfrac{A-A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}0 &-\frac{1}{2} &-2 \\ \frac{1}{2} &0 &-\frac{1}{2} \\ 2 &\frac{1}{2} &0 \end{pmatrix}

\square


[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios