Matrices ortogonales ... ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sigui la matriu
    $A=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$
  (a) Què significa que la matriu $B$ sigui la matriu inversa de $A$ ?
  (b) Trobeu el valor de $p$ per tal que la matriu inversa de $A$ i la matriu transposada de $A$ coincideixin

Solució:
  (a)
$B=A^{-1}$ si, i només si, $A$ és una matriu regular ( invertible ) i, doncs, si $\det(A)\neq 0$, de tal manera que $B\,A=A\,B=I_3$, on $I_3$ és la matriu identitat d'ordre $3$

  (b)
SOLUCIÓ:
Com que una matriu $A$ es ortogonal si i només si $A\,A^{t}=I=A^{t}\,A$; així, doncs, operant
$A\,A^t=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & p \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$
s'ha d'obtenir la matriu identitat; i, per tant, tenint en compte que l'element de la tercera fila i de la primera columna d'aquesta ha de ser igual a $0$, s'haurà de complir que $\dfrac{p}{\sqrt{2}}-\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}=0$, i per tant, $p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$


RESPOSTA IGUALMENT VÀLIDA ( que va més enllà del que es demana i que té, doncs, caràcter d'ampliació de continguts):
Si $A^t=A^{-1}$, llavors $A$ és una matriu ortogonal, que podem interpretar com la matriu de canvi de base de la base $\mathcal{B}$, formada aquests vectors ortonormals,
    $u_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},0,p)$
    $u_2=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$
    $u_3=(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})$
disposats en columna, a la base canònica, $\mathcal{E}=\lbrace (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \rbrace$
disposats en columnes (i en l'ordre indicat)

Com que aquests vectors ( ortonormals ) son - naturalment - ortogonals, dos a dos, els valors del producte escalar euclidià usual ( respecte de la base canònica i que denotem per $\langle .,. \rangle $ ), són:
    $(i) \quad \langle u_1,u_2 \rangle =0$
    $(i) \quad \langle u_1,u_3 \rangle =0$
    $(iii) \quad \langle u_2,u_3 \rangle =0$

D'acord amb el que s'acaba de dir:
(iii)
es comprova que
        $ \langle u_2,u_3 \rangle=0$
en efecte:
    $ \langle u_2,u_3 \rangle = \langle (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}) \rangle$
        $=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \big(-\frac{2}{\sqrt{6}}\big)+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=2\,\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}}-2\,\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}}=0$

De (i), trobem el valor de $p$:
    $ \langle u_1,u_2 \rangle =\langle (\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}) \rangle =\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{3}}-\dfrac{p}{\sqrt{3}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Nota 2:
Es pot comprovar que, de (ii), s'obté també el valor de $p$; en efecte,
    $ \langle u_1,u_3 \rangle =\langle (\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}) \rangle =\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}}-\dfrac{p}{\sqrt{6}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

-oOo-

Nota 1:
Suposem que les coordenades dels vectors venen referides a la base canònica de l'espai euclidià $(\mathbb{R}^3,\langle .,. \rangle )$ i, per tant, les podem anomenar components dels vectors )

Nota 2:
Es pot comprovar que, de (ii), s'obté també el valor de $p$; en efecte,
    $\langle u_1,u_3\rangle=\langle (\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}) \rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}}-\dfrac{p}{\sqrt{6}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$


$\square$

[nota del autor]