Calcular el ángulo que forma los planos ...

ENUNCIADO:
Calcular el ángulo que forma los planos $\pi:\,x+y+z-1=0$ y $\pi_2:\,x-y+x+1=0$

SOLUCIÓN:
$\angle(\pi_1,\pi_2) \equiv \angle(\vec{n_1},\vec{n_2})$, donde $\vec{n_1}=(1,1,1)$ y $\vec{n_2}=(1,-1,1)$ son vectores perpendiculares los respectivos planos ( sus coordenadas vienen dadas por los valores de los coeficientes $A$, $B$ y $C$ de las ecuaciones respectivas, $Ax+By+Cz+D=0$ ).

Así pues, $\angle(\pi_1,\pi_2)=\text{arccos}\left(\dfrac{\langle \vec{n_1},\vec{n_2} \rangle }{\left\|\vec{n_1}\right\|\,\left\|\vec{n_2}\right\|}\right)$

Teniendo en cuenta que el valor del producto escalar de dichos vectores es $\langle \vec{n_1},\vec{n_2} \rangle = \langle (1,1,1),(1,-1,1) \rangle=1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot 1=1$
y que los módulos de estos son
$\left\|\vec{n_1}\right\|=\left| \sqrt{1^2+1^2+1^2}\right| = \left| \sqrt{3} \right|$ y $\left\|\vec{n_2}\right\|=\left| \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right| = \left| \sqrt{3} \right|$
obtenemos
$$\angle(\pi_1,\pi_2)=\text{arccos}(\dfrac{1}{3}) \approx 70^{\circ}\,31'$$

$\square$

[nota del autor]