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viernes, 13 de marzo de 2015

Área de un paralelogramo ( aplicaciones del producto vectorial )

ENUNCIADO:
Los vectores \vec{OA}=2\,\vec{i}+3\,\vec{j}+\vec{k} y \vec{OC}=\vec{i}+(-1)\,\vec{j}+\vec{k} son los vectores de posición del paralelogramo OABC, donde \vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0) y \vec{k}=(0,0,1) son los vectores de la base canónica del espacio euclídeo \mathbb{R}^3. Calcular el área de dicho paralelogramo.


SOLUCIÓN:
\text{Área}_{OABC}=\left\| \vec{OA} \times \vec{OB} \right\|

El producto vectorial \vec{OA} \times \vec{OB}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2&3 &1 \\ 1& -1 &1 \end{vmatrix}=4\,\vec{i}+(-1)\,\vec{j}+(-5)\,\vec{k}
y el de \vec{OB} \times \vec{OA} es - \left( \vec{OA} \times \vec{OB} \right)

En cualquier caso, el módulo de uno u otro es
\left| \sqrt{4^2+(-1)^2+(-5)^2} \right|=\left| \sqrt{42}\right|
así, pues, \text{Área}_{OABC}=\left| \sqrt{42} \right| \, \text{unidades de área}

\square

[nota del autor]

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