Área de un paralelogramo ( aplicaciones del producto vectorial )

ENUNCIADO:
Los vectores $\vec{OA}=2\,\vec{i}+3\,\vec{j}+\vec{k}$ y $\vec{OC}=\vec{i}+(-1)\,\vec{j}+\vec{k}$ son los vectores de posición del paralelogramo $OABC$, donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$. Calcular el área de dicho paralelogramo.


SOLUCIÓN:
$\text{Área}_{OABC}=\left\| \vec{OA} \times \vec{OB} \right\|$

El producto vectorial $\vec{OA} \times \vec{OB}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2&3 &1 \\
1& -1 &1
\end{vmatrix}=4\,\vec{i}+(-1)\,\vec{j}+(-5)\,\vec{k}$
y el de $\vec{OB} \times \vec{OA}$ es $- \left( \vec{OA} \times \vec{OB} \right) $

En cualquier caso, el módulo de uno u otro es
$$\left| \sqrt{4^2+(-1)^2+(-5)^2} \right|=\left| \sqrt{42}\right|$$
así, pues, $\text{Área}_{OABC}=\left| \sqrt{42} \right| \, \text{unidades de área}$

$\square$

[nota del autor]