Cálculo de primitivas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu la següent integral indefinida
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}$

Solució:
La funció integrand
    $\dfrac{1}{x^2+x}$
és una funció racional, que, havent factoritzat el seu denominador es pot escriure de la forma
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}$
Aquesta funció, doncs, del tipus
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}$
i, per tant, es pot expressar com una suma de fraccions
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduint a comú denominador l'expressió del segon membre, trobem que és igual a
    $\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
operant el numerador queda
    $\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
és a dir
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
i igualant els coeficients dels termes del mateix grau entre ambdós membres de la igualtat obtenim el següent sistema d'equacions
    $\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
i, resolent-lo, trobem
    $m=\dfrac{1}{b-a}$
i
    $n=\dfrac{1}{a-b}$

En aquest cas concret, $b=0$ i $a=1$, per tant trobem $m=1$ i $n=-1$
LLavors
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$
i podrem escriure
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx-\int \dfrac{1}{x+1}\,dx$
que són integrals immediates, és a dir
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|x\right|}-\ln{\left|x+1\right|}+C$
que, per les propietats dels logaritmes, també podem expressar així
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$

Nota:   $C$, que pot ser qualsevol nombre real, és la constant d'integració, o constant arbitrària de la família de funcions primitives de la funció integrand:
    $F(x)=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$


$\square$

[nota del autor]