Distancia ( en el espacio ) de un punto a una recta

ENUNCIADO:
Calcular la distancia del punto $P(1,1,1)$ a la recta $r:(x,y,z)=\lambda\,(0,1,0)+(1,-1,0)$ ( en forma paramétrica, de parámetro $\lambda$ ).

SOLUCIÓN:

Sea $\vec{u}$ un vector de la recta, por ejemplo, $\vec{u}=(0,1,0)$, y consideremos un punto sobre la recta $r$, por ejemplo $P_{r}(1,-1,0)$; entonces, podemos formar el triángulo vectorial $\vec{d}+\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)=\overset{\rightarrow}{P_{r}P}$, donde $\vec{d} \perp \vec{u}$

Así, $\text{dist}(P,r)=\left\|\vec{d}\right\|$

Calculamos, primero $\vec{d}$, haciendo $\vec{d}=\overset{\rightarrow}{P_{r}P}-\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)$

para ello, debemos calcular el vector que resulta de la proyección:
$\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)=\langle \overset{\rightarrow}{P_{r}P}, \vec{d} \rangle \, \dfrac{\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|}$
                                $=\langle (0,2,1),(0,1,0)\rangle \, \dfrac{(0,1,0)}{1}=2\,(0,1,0)=(0,2,0)$

por tanto, $\vec{d}=(0,2,1)-(0,2,0)=(0,0,1)$

con lo cual $\left\|\vec{d}\right\|=1$, que es la distancia pedida.

$\square$

[nota del autor]