Enunciat:
Donada la matriu quadrada d'ordre $n=3$
$\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}$
expresseu-la com a suma de dues matrius, una simètrica i una d'antisimètrica.
Solució:
En aquest exercici farem servir la matriu transposada $A^{t}$ d'una matriu $A=(a_{ij})$, que es defineix com la matriu que resulta d'intercanviar cada fila d'índex $i$ per la columna del mateix índex, és a dir, $A^t=(a_{ji})$.
Sabem (propietat) que:
a) per a qualsevol matriu quadrada $A$ d'ordre $n$, la matriu $A+A^{t}$ és una matriu simètrica ( els seus coeficients són tals que $a_{ij}=a_{ji}$ per a tot parell d'índexs $i,j=1,\ldots,n$ )
b) la matriu $A-A^{t}$ és una matriu antisimètrica ( es pot comprovar que els seus coeficients són tals que $a_{ij}=-a_{ji}$ si $j \neq i$ i $a_{ij}=0$ si $i=j$, per a tot parell d'índexs $i,j=1,\ldots,n$ ).
Per altra banda, és evident que podem escriure $A$ de la següent manera:
$A=\dfrac{A+A^t}{2}+\dfrac{A-A^t}{2}$
en altres paraules
$A=S+T$
on $S$ representa la matriu simètrica
$S=\dfrac{A+A^t}{2}$
i $T$ representa la matriu antisimètrica
$T=\dfrac{A-A^t}{2}$
Dit això, tan sols ens manca calcular les matrius $S$ i $T$, i, per això, cal calcular la matriu transposada $A^{t}$:
$A^t=\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}$
Llavors:
$A+A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}6 &1 &6 \\ 1 &2 &3 \\ 6 &3 &-2 \end{pmatrix}$
que, com podem comprovar, és un m. simètrica.
$A-A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}0 &-1 &-4 \\ 1 &0 &-1 \\ 4 &1 &0 \end{pmatrix}$
que, com podem comprovar, és un m. antisimètrica.
I, d'aqui, construïm les matrius $S$ (que és simètrica) i $T$ (que és antisimètrica) i que, sumades, donen $A$:
$S=\dfrac{A+A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}3 &\frac{1}{2} &3 \\ \frac{1}{2} &1 &\frac{3}{2} \\ 3 &\frac{3}{2} &-1 \end{pmatrix}$
$T=\dfrac{A-A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}0 &-\frac{1}{2} &-2 \\ \frac{1}{2} &0 &-\frac{1}{2} \\ 2 &\frac{1}{2} &0 \end{pmatrix}$
$\square$
