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miércoles, 11 de marzo de 2015

Ecuación del haz de planos que da como intersección una determinada recta

ENUNCIADO:
Sea la recta r:\,(x,y,z)=(1,-1,1)+\lambda\,(1,2,3) de \mathbb{R}^3 ( expresada en forma paramétrica, de parámetro \lambda ). ¿ Cuál es la ecuación del haz de planos tal que la recta dada es su intersección ?.

SOLUCIÓN:
Expresando r en forma paramétrica,
\left\{\begin{matrix} x-1 & = & \lambda \\ \\ \dfrac{y-(-1)}{2} & = & \lambda \\ \\ \dfrac{z-1}{3} & = & \lambda \end{matrix}\right.

y, de ahí, podemos escribir la ecuación de la recta en forma continua
x-1=\dfrac{y-(-1)}{2}=\dfrac{z-1}{3}

por tanto, las ecuaciones implícitas de dicha recta son
\left\{\begin{matrix} x-1 & = & \dfrac{y+1}{2} \\ \\ x-1 & = & \dfrac{z-1}{3} \\ \end{matrix}\right.

es decir
\left\{\begin{matrix} 2x &-&y&-&3&=&0 \\ \\ 3x &-&z&-&2&=&0 \\ \end{matrix}\right.

que son las ecuaciones de dos de los planos, \pi_1 y \pi_2, del hay de planos. Con lo cual, para cualesquiera \alpha, \beta \in \mathbb{R} ( no simultáneamente nulos ), podemos escribir la ecuación del haz de planos pedido de la forma:
\mathcal{F}:\alpha ( 2x-y-3 ) + \beta ( 3x -z - 2) = 0

\square


OBSERVACIÓN:
En general, dados dos de los planos del haz, \pi_1: Ax+By+Cz+D=0 y \pi_2:A'x+B'z+C'z+D'=0, entonces \mathcal{F}:\alpha\,(Ax+By+Cz+D) + \beta\,(A'x+B'z+C'z+D')=0, siendo \alpha, \beta \in \mathbb{R} ( no simultáneamente nulos ).

\lozenge


[nota del autor]

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