Ecuación del haz de planos que da como intersección una determinada recta

ENUNCIADO:
Sea la recta $r:\,(x,y,z)=(1,-1,1)+\lambda\,(1,2,3)$ de $\mathbb{R}^3$ ( expresada en forma paramétrica, de parámetro $\lambda$ ). ¿ Cuál es la ecuación del haz de planos tal que la recta dada es su intersección ?.

SOLUCIÓN:
Expresando $r$ en forma paramétrica,
$$\left\{\begin{matrix}
x-1 & = & \lambda \\
\\
\dfrac{y-(-1)}{2} & = & \lambda \\
\\
\dfrac{z-1}{3} & = & \lambda
\end{matrix}\right.$$

y, de ahí, podemos escribir la ecuación de la recta en forma continua
$$x-1=\dfrac{y-(-1)}{2}=\dfrac{z-1}{3}$$

por tanto, las ecuaciones implícitas de dicha recta son
$$\left\{\begin{matrix}
x-1 & = & \dfrac{y+1}{2} \\
\\
x-1 & = & \dfrac{z-1}{3} \\
\end{matrix}\right.$$

es decir
$$\left\{\begin{matrix}
2x &-&y&-&3&=&0 \\
\\
3x &-&z&-&2&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$

que son las ecuaciones de dos de los planos, $\pi_1$ y $\pi_2$, del hay de planos. Con lo cual, para cualesquiera $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ( no simultáneamente nulos ), podemos escribir la ecuación del haz de planos pedido de la forma:
$$\mathcal{F}:\alpha ( 2x-y-3 ) + \beta ( 3x -z - 2) = 0$$

$\square$


OBSERVACIÓN:
En general, dados dos de los planos del haz, $\pi_1: Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi_2:A'x+B'z+C'z+D'=0$, entonces $\mathcal{F}:\alpha\,(Ax+By+Cz+D) + \beta\,(A'x+B'z+C'z+D')=0$, siendo $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ( no simultáneamente nulos ).

$\lozenge$

[nota del autor]