Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
$1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\dfrac{1}{6}\,n\,(n+1)\,(2\,n+1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$
Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:
i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$
ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )
iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es verifica $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada ( $\mathcal{P}_n$ ) , sumem el terme $(n+1)^2$ al primer membre (sumem el quadrat del nombre consecutiu al darrer terme), obtenint
$\big(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\big)+(n+1)^2$
que, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
$\dfrac{1}{6}\,n\,(n+1)\,(2\,n+1)+(n+1)^2$
expressió que és igual a
$\dfrac{1}{6}\,(n+1)\,\big(2\,n^2+7\,n+6\big)$
i que, factoritzada, queda
$\dfrac{1}{6}\,(n+1)\,(n+2)(2\,n+3)$
per tant es reprodueix la mateixa estructura de l'expressió del 2n membre per a $n+1$; en efecte, per veure-ho ben clar, tan sols cal substituir $n$ per $n+1$ a l'expressió del segon membre, verificant la reproducció de l'estructura de l'expressió:
$\dfrac{1}{6}\,(n+1)\,\big((n+1)+1\big)\,\big(2\,(n+1)+1\big)$
Llavors, queda provada $\mathcal{P}$.
$\square$
