Un ejemplo de integral indefinida que puede resolverse empleando la técnica de integración por partes, y aplicando finalmente un cambio de variable

Calcúlese $$\displaystyle \int\,\text{arcsin}(x)\,dx$$

Voy a integrar empleando la técnica de por partes, tomando $u=\text{arcsin}(x)$, y por tanto $du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$; y $dx=dv$, con lo cual $v=x$. Entonces, denotando $I=\displaystyle \int\,\text{arcsin}(x)\,dx$, tenemos: $$\displaystyle I\overset{\text{i. por partes}}{=} \int\,u\,dv=uv-\int\,v\,du=x\,\text{arcsin}(x)-\int\,\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int\,u\,dv=uv-\int\,v\,du=x\cdot \text{arcsin}(x)-J \quad (1)$$ donde $J=\int\,\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$, integral que, mediante el cambio de variable $x=\sin(\theta) \therefore dx=\cos(\theta)\,d\theta$ y $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2\,(\theta)}=\cos(\theta)$, con lo cual $\displaystyle J=\int\,\dfrac{\sin(\theta)\,\cos(\theta)\,d\theta}{\cos(\theta)}=\int\,\sin(\theta)\,d\theta=-\cos(\theta)+C_1=-\sqrt{1-\sin^2(\theta)}+C_1=-\sqrt{1-x^2}+C$. Sustituyendo este resultado en (1), llegamos a $I=x\cdot \text{arcsin}(x)-(-\sqrt{1-x^2})+C=x\cdot \text{arcsin}(x)+\sqrt{1-x^2}+C$ $\diamond$