Longitud de un arco de curva de una trayectoria ( cinemática )

En cinemática, es frecuente tener que calcular la longitud de arco de la curva que describe una partícula entre dos tiempos dados, $t_i$ y $t_f$. Al hilo de lo que hablaba en el artículo anterior, voy a exponer ahora cómo resolver este problema.

Si disponemos de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria -- que, para simplificar, supondremos en el plano -- la cual proporciona la posición $(x(t),y(t))$ de la partícula en cada instante de tiempo $$\vec{r}(t) \equiv \left\{\begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix}\right.$$ bastará con aplicar lo que ya se ha explicado en el artículo anterior: un elemento diferencia de longitud de arco es $$ds=\left| \sqrt{(dx(t))^2+(dy(t))^2} \right|$$ y teniendo en cuenta que $\dfrac{dx(t)}{dt}=x'(t)$ y $\dfrac{dy(t)}{dt}=y'(t)$ con lo cual $dx(t)=x'(t)\,dt$ e $dy(t)=y'(t)\,dt$ y por tanto podemos escribir $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2\,dt^2+(y'(t))^2\,dt^2}\right| = \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Así que $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Por consiguiente $$s_{t_i \rightarrow t_f} =\int_{t_i}^{t_f}\,\left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$

EJEMPLO ( sencillo ). La trayectoria de una partícula en el plano viene dada por $$\vec{r}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x(t)=1 \\ y(t)=-t^2 \end{matrix}\right.$$ Calcúlese la longitud del arco de curva que corresponde a la trayectoria de la partícula entre los instantes de tiempo $t_i=0\,\text{s}$ y $t_f=3\,\text{s}$ ( Las longitudes vienen dadas en metros ).
SOLUCIÓN. Derivando las ecuaciones paramétricas de posición ( donde $t$ es el parámetro ) obtenemos las ecuaciones paramétricas de la velocidad: $$\vec{v}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x'(t)=0\\ y'(t)=-2\,t\end{matrix}\right.$$ Entonces
$\displaystyle s_{t_i:=0 \rightarrow t_f:=3} =\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{(0^2+(-2t)^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{4t^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,2t\,dt=$
  $\displaystyle=2\,\left[\dfrac{1}{2}\,t^2\right]_{0}^{3}=3^2-0^2=9\,\text{m}$
$\square$

Integració del moviment

Exemples d'aplicació de la integral indefinida (funcions primitives d'una funció donada)

Enunciat:
Considereu que la funció $v(t)=t^3-t^2+t+1$ ( $t$ designa la variable temps ) descriu la velocitat instantània d'una partícula en un moviment unidimensional i rectilini (al llarg de l'eix $\text{Ox}$). Sabent que a l'instant $t=1 \; \text{s}$, la posició $s$ és igual a $1 \, \text{m}$ (respecte de l'origen), determineu:
    a) la funció que dóna l'acceleració instanània $a(t)$
            [la funció acceleració instantània $a(t)$ és la funció derivada de la funció velocitat $v(t)$]
    b) la funció que dóna la posició en cada instant de temps $x(t)$
            [la funció velocitat instantània $v(t)$ és la funció derivada de la funció de posició instantànica $x(t)$]
    c) els valors de la posició, la velocitat, i l'acceleració per a $t=2 \, \text{s}$

Resolució:
a)     Trobem la funció acceleració derivant la funció velocitat
$a(t)=\dfrac{dx}{dt}$
        $=3\,t^2-2\,t+1$

b)     Per determinar la funció de posició cal resoldre el problema de la integral indefinida de la funció $v(t)$; és a dir,

$\displaystyle \int \,v(t)\,dt$

que, com és ben sabut, és igual a una família de funcions primitives $\{x(t)+C\}$     (on $C$ representa la constant d'integració )

Integrant (en aquest cas es tracta d'una i. semi immediata), trobem fàcilment

$\displaystyle \int \, \big(t^3-t^2+t+1 \big) \, dt = \dfrac{1}{4}\,t^4 - \dfrac{1}{3}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2+ t + C \quad \quad \quad (1)$

I, imposant la condició inicial $x(1)=1$, determinem el valor de la constant d'integració: $C$

$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+1+C=1$

per tant

$C=-\dfrac{5}{12} \; \text{m}$

I, finalment, substituint aquest valor en (1) podem concretar la funció de posició

$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4 - \dfrac{1}{3}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2+ t - \dfrac{5}{12}$

c)     Substituint aquest valor de la variable temps a les funcions corresponents obtenim:
      $x(2)=\ldots=\dfrac{59}{12} \; \text{m}$ (la coordenada de posició es pot expressar com la distància a l'origen de coordenades)
      $v(2)=\ldots=7 \; \text{m}\;\text{s}^{-1}$
      $a(2)=\ldots=9 \; \text{m}\;\text{s}^{-2}$

$\square$