Un ejercicio de integración

ENUNCIADO.
a) Determinar el polinomio $f(x)$, sabiendo que $f'''(x)=12$, para todo $x \in \mathbb{R}$ y, además, verifica: $f(1)=3$; $f'(1)=1$; $f''(1)=4$
b) Determinar el polinomio $g(x)$, sabiendo que $g''(x)=6$, para todo $x \in \mathbb{R}$ y que, además, verifica: $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,g(x)\,dx=5$$ y $$\displaystyle \int_{0}^{2}\,g(x)\,dx=14$$

SOLUCIÓN.
a)
Si $f(x)$ es un polinomio y $f'''(x)=12$ ( constante ) para todo $x \in \mathbb{R}$, entonces $\text{grado}(f(x))=3$ y por tanto $f(x)=a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d \quad \quad (1)$
luego derivando,
$$f'(x)=3ax^2+2bx+c \quad \quad (2)$$
$$f''(x)=6ax+2b \quad \quad (3)$$
$$f'''(x)=6a=12 \Rightarrow a=\dfrac{12}{6}=2$$

Teniendo en cuenta ahora que $f''(1)=4$, y siendo $a=2$, de (3) se deduce que $b=-4$. Por otra parte, como $f'(1)=1$, sustituyendo los valores encontrados de $a$ y $b$ en (2) vemos que $c=3$. Y, finalmente, como $f(1)=3$, sustituyendo los valores de los coeficientes $a,b$ y $c$ en (1), encontramos que $d=2$

Por consiguiente, $$f(x)=2\,x^3-4\,x^2+3\,x+2$$

b)
Si $g''(x)=6$ ( constante ) para todo $x \in \mathbb{R}$, entonces $\text{grado}(g(x))=2$ y, por tanto, $$g(x)=m\,x^2+n\,x+k \quad \quad (4)$$ derivando
$$g'(x)=2mx+n \quad \quad (5)$$
$$g''(x)=2m \quad \quad (6)$$

Teniendo en cuenta que $g''(x)=6$, de (6) deducimos que $2m=6 \Rightarrow m=3$, con lo cual $g(x)=3\,x^2+nx+k$.

Además, sabemos que $\displaystyle \int_{0}^{1}\,g(x)=5$, y, por otra parte, $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,g(x)\,dx\overset{(4)}{=}\displaystyle \int_{0}^{1}\, (3x^2+nx+k)\,dx = \left[3\cdot \dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2+k\,x\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}\,n+k+1$$ luego $$\dfrac{1}{2}\,n+k+1=5 \Leftrightarrow n+2k=8$$

EN PROCESO ...